新高考数学三轮冲刺提升练习专题09 利用导数研究隐零点和极值点偏移问题（原卷版）.doc

专题09利用导数研究隐零点和极值点偏移问题

目录

TOC\o1-3\h\z\u类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值 1

类型二：构造不同的函数判断相同的函数值 2

类型三：用放缩法比较大小 4

满分策略：1.依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆试根，再由单调性说明此根的唯一性；2

满分策略：

1.依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆试根，再由单调性说明此根的唯一性；

2.先虚设零点，设而不求，通过形式化的变量代换或推理，达到花间并求解的目的；

3.多次求导，合理变形，直至能够求解。

典型例题：

【例1】．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx

（1）讨论fx

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna?aln

【答案】（1）fx的递增区间为0,1，递减区间为1,

试题分析：

(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.

(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令1a=m,1

详细解答：

(1)f(x)的定义域为(0,+∞

由f(x)=x(1?lnx)得，

当x=1时，f(x)=0；当x∈(0,1)时f(x)0；当x∈(1,+∞)时，

故f(x)在区间(0,1]内为增函数，在区间[1,+∞

(2)[方法一]：等价转化

由blna?alnb=a?b得

由a≠b，得1a

由（1）不妨设1a∈(0,1),1b∈(1,+∞)

①令g(x)=f(2?x)?f(x)，

则g

当x∈(0,1)时，g(x)0，g(x)在区间(0,1)内为减函数，g(x)g(1)=0，

从而f(2?x)f(x)，所以f(2?1

由（1）得2?1a

令?(x)=x+f(x)，则?(x)=1+f

当x∈(1,e)时，?(x)0，?(x)在区间(1,e)内为增函数，?(x)?(e)=e，

从而x+f(x)e，所以1b

又由1a∈(0,1)，可得

所以1a

由①②得21

[方法二]【最优解】：blna?alnb=a?b变形为

令1a=m,1

于是命题转换为证明：2m+ne．

令f(x)=x(1?lnx)，则有f(m)=f(n)，不妨设

由（1）知0m1,1ne，先证m+n2．

要证：m+n2?n2?m?f(n)f(2?m)?f(m)f(2?m)

?f(m)?f(2?m)0．

令g(x)=f(x)?f(2?x),x∈(0,1)，

则g(x)=?ln

∴g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(x)g(1)=0，即m+n2．

再证m+ne．

因为m(1?lnm)=n?(1?ln

令?(x)=x(1?ln

所以?(x)=1?lnx0，故?(x)在区间

所以?(x)?(e)=e．故?(n)e，即m+ne．

综合可知21

[方法三]：比值代换

证明1a+1

不妨设x2=tx

由x1(1?lnx1

要证x1+x2e

即ln(1+t)+1?

即证ln(1+t)

记g(s)=ln(1+s)s

记?(s)=s1+s?

所以，?(s)在区间(0,+∞)内单调递减．?(s)?(0)=0，则

所以g(s)在区间(0,+∞

由t∈(1,+∞)得t?1∈(0,+∞

即ln(1+t)

[方法四]：构造函数法

由已知得lnaa?

不妨设x1x

由（Ⅰ）知，0x11

证明x1

再证明x1+x

令φ(x)=lnx+e

所以φ(x)φ(e)=0,?(x)0，?(x)在区间(0,e)内单调递增．

因为0x1x

又因为f(x1)=f(

即x2

因为x1x2，所以

综上，有21

【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.

方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.

方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.

方法四：构造函数之后想办法出现关于x1

【例2】．（2022·天津·统考二模）设函数fx=x?1

(1)求gx

(2)讨论gx

(3)若fx有两个极值点x1,x2

【答案】(1)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞

(2)答案见解析

(3)证明见解析

试题分析：

（1）求出fx的导函数，即可得到g

（2）由（1）得，gxmax=m?3

（3）由（2）可得m3且0x11x2，依题意可得ln

详细解答：

（1）

解：因为fx=x?1

所以fx

即gx=lnx?2x?1

当x∈0,1时，gx

当x∈1,+∞时，g

所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，g(x)的单调递减区间为(1,+∞

（2）

解：由（1）得，gx

当m3时，gx0，则gx

当m=3时，g1=0，则gx

当m3时，01m13，