新高考数学三轮冲刺提升练习专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题（原卷版）.doc

专题12解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题

目录

TOC\o1-3\h\z\u类型一：求三角形的周长 1

类型二：三角形周长范围或最值 2

类型三：求三角形的面积 3

类型四：三角形面积的范围或最值 3

类型五：其他元素的范围或最值 4

满分策略：1.正弦定理+角的范围

满分策略：

1.正弦定理+角的范围

2.余弦定理+基本不等式

典型例题：在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acos

(1)求角A;

(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求△ABC

【答案】(1)A=

(2)8+2

试题分析：

(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用

详细解答：

（1）在△ABC中因为2acos

由正弦定理得2sin

所以2sin

即sinB=2

又因为A,B∈0,π,sinB≠0

所以A=π

（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE//AC，

且DE=12AC=1

在△ADE中,由余弦定理得:

AD

解得AE=3,所以AB=6.

在△ABC中,由余弦定理得:

BC=

所以△ABC的周长为8+27

题型专练：

1．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，△ABC的面积为

A．4 B．6 C．8 D．18

2．（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b?c)cos

(1)求cosA

(2)若a=23，且△ABC的面积S△ABC=3

(3)若b=3，且sinBsinC=

3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a

(1)求A；

(2)若a=8，△ABC的内切圆半径为3，求△ABC的周长.

4．（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c且c?cos

(1)求C的值；

(2)若AB边上的点M满足BM=2MA，c=3，CM=7

5．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c.设3b=c+

(1)若A=π6，求

(2)若c=1，cosC=15

6．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在①3absinC=4AB

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________.

(1)求sinA

(2)若△ABC的面积为2，a=4，求△ABC的周长.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

类型二：三角形周长范围或最值

典型例题：已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=

(1)求B的大小；

(2)求△AOC的周长的取值范围．

【答案】(1)B=

(2)4

试题分析：

（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；

（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解．

详细解答：

（1）因为S=3

所以34×2accosB=1

因为B∈(0,π)，所以

（2）设△AOC周长为l，∠OAC=α，如图所示，

由（1）知B=π3，所以0∠BAC2

因为点O为ΔABC的内心，OA，OC分别是∠A，∠C的平分线，且B=

所以∠AOC=2

在△AOC中，由正弦定理可得OAsin

所以l=OA+OC+AC=4sinα+4sin

因为α∈(0,π3)，所以α+

可得△AOC周长l=4sin

题型专练：

7．（湖南省名校教研联盟2023届高三下学期4月联考数学试题）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sin

(1)求a的值；

(2)若△ABC的面积为3b2+

8．（2023·全国·高三专题练习）在①cosC=ba?c

问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______，a＝4．

(1)求A；

(2)求△ABC周长的取值范围

9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2

(1)求C；

(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．

10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sin

(1)求角C；

(2)若c=23，求△ABC

11．（2023春·山西太原·高一统考期中）△ABC的内角A,B,C的对边分