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《因式分解》讲义

一、教材版本与章节介绍

咱们今天要学习的内容来自北京版七年级下册第八章8.1因式分解。这部分内容可是代数学习中的重要环节，就像搭积木一样，是构建我们代数知识大厦的关键一块。

二、因式分解的概念导入

同学们，咱们先来看个小例子。假设你有12个苹果，你可以把它分成3组，每组4个，也就是12=3×4。那如果是代数式呢，比如6x+9，这个式子就像一堆苹果一样，咱们也可以把它“分组”。我们可以发现这个式子中的每一项都有一个3，那我们就可以把3提出来，写成3(2x+3)。这就好比把12个苹果分成3组一样，我们把6x+9这个式子中的“公共部分”3提出来了。这种把一个多项式化成几个整式积的形式，就叫做因式分解。

这里要注意哦，因式分解和整式乘法可是相反的过程。整式乘法是把几个整式相乘得到一个多项式，就像我们知道3和4，然后得到12；而因式分解是把多项式变成几个整式相乘的形式，就像我们把12又变回3和4的乘积形式。

三、因式分解的方法

（一）提公因式法

1、公因式的概念

公因式呢，就是多项式各项都含有的公共的因式。比如说在多项式4x2+6x中，4x2可以写成2x×2x，6x可以写成2x×3，那这个2x就是公因式啦。就像一群小伙伴都有的共同特点一样，这个2x就是这两项的共同“特点”。

2、提公因式的步骤

第一步，先找公因式。咱们还是拿4x2+6x这个式子来说，先看数字部分，4和6都能被2整除，再看字母部分，x2和x都有x，所以公因式就是2x。

第二步，把公因式提出来。把2x提出来后，4x2除以2x就剩下2x，6x除以2x就剩下3，所以4x2+6x提公因式后就变成了2x(2x+3)。

这里我给大家出个小练习：8x3-12x2，同学们来找找公因式，然后把这个式子进行因式分解。（答案：公因式是4x2，因式分解后为4x2(2x-3)）

（二）公式法

1、平方差公式

公式内容：a2-b2=(a+b)(a-b)。这个公式怎么来的呢？咱们可以用图形来理解。想象一个边长为a的正方形，再想象一个边长为b的小正方形放在这个大正方形里面。那大正方形的面积是a2，小正方形的面积是b2，剩下的部分的面积就是a2-b2。而这剩下的部分呢，可以分成两个长方形，一个长是a+b，宽是ab，所以就有a2-b2=(a+b)(a-b)啦。

应用示例：比如说9x2-16，这里9x2=(3x)2，16=42，那它就符合平方差公式的形式，所以可以因式分解为(3x+4)(3x-4)。

小练习：25x2-49y2，同学们用平方差公式来分解一下。（答案：(5x+7y)(5x-7y)）

2、完全平方公式

公式内容：a2+2ab+b2=(a+b)2和a2-2ab+b2=(a-b)2。我们可以这样理解，(a+b)2展开就是a2+2ab+b2，就像一个边长为a+b的正方形的面积，我们把它展开就是这三项啦。

应用示例：x2+6x+9，这里x2相当于a2，9相当于b2，6x正好是2ab（这里a=x，b=3），所以这个式子可以因式分解为(x+3)2。

小练习：4x2-12x+9，同学们来试试。（答案：(2x-3)2）

四、因式分解的注意事项

（一）分解要彻底

比如说4x?-16x2，我们不能只把公因式4x2提出来就结束了，提完公因式后得到4x2(x2-4)，这里面x2-4还可以继续用平方差公式分解，最终结果应该是4x2(x+2)(x-2)。这就好比打扫房间，不能只把表面的灰尘扫了，还要把角落里的脏东西也清理干净。

（二）首项系数为负时的处理

如果多项式的首项系数是负的，我们一般要把负号提出来。例如x2+3x，我们可以把它写成(x2-3x)，然后再进行因式分解。这就像整理东西的时候，把不好看的、杂乱的部分先整理好一样。

五、因式分解在实际中的应用

（一）简化计算

1、数值计算方面

假设我们要计算20252-20242，如果直接计算的话会很麻烦。但是我们可以用平方差公式进行因式分解，20252-20242=(2025+2024)(2025-2024)=4049×1=4049。这样计算起来就简单多了，就像走捷径一样。

2、代数式化简求值方面

例如，已知x+y=5，xy=6，求x2y+xy2的值。我们可以先对x2y+xy2进行因式分解，得到xy(x+y)。然后把x+y=5，xy=6代入式子，就得到6×5=30。

（二）解决几何问题

在几何中，有时候我们会遇到求图形面积或者边长关系的问题。比如有一个