高等数学简明教程 第4版 第3章 导数的应用.ppt

图3-27*5)列表:图3-23洛必达法则提示与提高(2)罗尔定理设函数f(x)满足条件:1)在闭区间[a,b]上连续;2)在开区间(a,b)内可导;3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0(aξb)(3-4)图3-25图3-26列表考察:判别法2若f(x0)=0,且f″(x0)存在,则(1)若f″(x0)0,则f(x0)为极小值;(2)若f″(x0)0,则f(x0)为极大值.列表考察:需要注意的是:找可疑极值点时不要漏掉导数不存在的点.x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)f(x)-不存在+0-不存在+f(x)单调减少极小值0单调增加极大值1单调减少极小值0单调增加例3-11求函数f(x)=x4-4x3+6x2-4x的极值.解此函数的定义域为(-∞,+∞),因为f(x)=4x3-12x2+12x-4=4(x-1)3令f(x)=0,得驻点x=1.又因为f″(x)=12(x-1)2所以f″(1)=0,故极值判别法2失效,须用极值判别法1判别.列表考察:x(-∞,1)1(1,+∞)f(x)-0+f(x)单调减少极小值-1单调增加3.2.2函数的最值定义2设函数f(x)在闭区间I上连续,若x0∈I,且对所有x∈I,都有f(x0)f(x)(或f(x0)f(x)),则f(x0)称为函数f(x)的最大值(或最小值).显然,函数的最大值、最小值一定是函数的极值,但反之未必.一般来说,连续函数f(x)在闭区间I上的最大值与最小值,从区间端点处、极值点处的函数值中取得,因此,只需求出端点处及区间内使f(x)=0及f(x)不存在的点处的函数值,把它们做比较,从中找出最大值、最小值即可.例3-12求函数f(x)=2x3+3x2-12x-2在区间[-3,2]上的最大值和最小值.解因为f(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2)令f(x)=0,得驻点x1=-2,x2=1.因为f(-3)=7,f(-2)=18,f(1)=-9,f(2)=2所以函数f(x)在区间[-3,2]上的最大值为f(-2)=18,最小值为f(1)=-9.在实际问题中,常会碰到最大值和最小值问题,如用料最省、效益最高等,遇到的函数大多是在某区间内只有一个极值点的连续且可导的函数.因而实际问题中的最大值、最小值,就是函数的极大值、极小值.实际问题求解最值的一般解题步骤为:(1)分析问题,建立目标函数把问题的目标作为因变量,把它所依赖的量作为自变量,建立二者的函数关系,即目标函数,并确定函数的定义域.(2)解极值问题确定自变量的取值,使目标函数达到最大值或最小值.图3-9图3-10图3-11图3-12?为了准确描绘函数的图像,仅知道函数的单调性和极值是不够的.还应知道它的弯曲方向和分界点.这一节,我们就专门研究曲线的凹凸与拐点.3.3.1曲线的凹凸及其判别法如图3-13所示,可以看出曲线的弯曲方向,与其上的切线的位置有关.定义3若曲线弧位于其每一点切线的上(下)方,则称曲线弧是凹(凸)的.曲线的凹凸与拐点图3-13由图3-14可以看出,如果曲线是凹的,那么其切线的倾斜角θ随x的增大而增大,即切线的斜率单调增加,由于切线的斜率就是f(x),因此f(x)单调增加,所以f″(x)0.由图3-15可以看出,如果曲线是凸的,那么其切线的倾斜角θ随x的增大而减少,即切线的斜率单调减小,由于切线的斜率就是f(x),因此f(x)单调减小,所以f″(x)0.图3-14图3-15由以上讨论可得曲线凹凸的判定法如下:曲线凹凸的判定法设f(x)在(a,b)内具有二阶导数,(1)如果f″(x)0,则曲线在(a,b)内是凹的;(2)如果f″(x)0,则曲线在(a,b)内是凸的.3.3.2曲线的拐点一般地,连续曲线凹、凸两段弧的分界点称为曲线的拐点,如图3-16中所示的点a即为拐点.显然,曲线y=f(x)的拐点只能是f″(x)=0或f″(x)不存在的点.图3-16求连续曲线的拐点步骤如下:(1)求出函数f(x)的f″(x)=0或f″(x)不存在的点.(2)在求出点的左、右两边,若f″(x)异号,则该点就是拐点,否则,就不是拐点.上述结果也可列表考察:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f″(x)-0+0-f(x)凸拐点凹拐点凸图3-17图3-18列表考察:x(-∞,0)0(0,+∞)f″(x)-不存在+f(x)凸