高中数学人教A版选修2-1同步练习：1.4.1全称量词与存在量词.docVIP

第一章全称量词与存在量词

一、选择题

1．以下命题中全称命题的个数为()

①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案]C

[解析]①②是全称命题，③是特称命题．

2．以下特称命题中真命题的个数是()

①?x∈R，x≤0；②至少有一个角，它既不是锐角，也不是钝角；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数．

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案]D

[解析]①②③都是真命题．

3．以下命题中，是真命题且是全称命题的是()

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋

B．菱形的两条对角线相等

C．?x∈R，eq\r(x2)＝x

D．对数函数在定义域上是单调函数

[答案]D

[解析]A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在表达上没有全称量词，但实际上是指“所有的”

4．以下命题中，真命题是()

A．?x∈R,2x1 B．?x∈R，x2－x＋1≤0

C．?x∈R，lgx0 D．?x∈N*，(x－2)20

[答案]A

[解析]对于选项B，x2－x＋10，错误；对于选项C，当x＝eq\f(1,10)时，lgeq\f(1,10)＝－10，错误；对于选项D，当x＝2时，(x－2)2＝0，错误．应选A.

5．以下命题中，真命题是()

A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

D．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

[答案]A

[解析]显然当m＝0时，f(x)＝x2为偶函数，应选A.

6．以下命题中，既是真命题又是特称命题的是()

A．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tanα

B．存在实数x0，使得sinx0＝eq\f(π,2)

C．对一切α，sin(180°－α)＝sinα

D．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

[答案]A

[解析]∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A为真命题，且为特称命题，应选A.B中对?x∈R，有sinx≤1eq\f(π,2)；C、D都是全称命题．

二、填空题

7．(2014·高州四中质量检测)函数f(x)＝x2＋mx＋1，假设命题“?x00，f(x0)0”为真，那么m的取值范围是________

[答案](－∞，－2)

[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)0，,m2－40，))∴m－2.

8．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋20恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x22x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

[答案]0

[解析]x2－3x＋20，Δ＝(－3)2－4×20，∴当x2或x1时，x2－3x＋20才成立，∴①为假命题．

当且仅当x＝±eq\r(2)时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，

对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)．假设对任意x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)1恒成立，那么实数a的取值范围是________．

[答案](－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))

[解析]由x⊙y＝x(1－y)，得(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－(x－a)[x－(1－a)]1，

整理得x2－x－a2＋a＋10恒成立，那么Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－30，解得－eq\f(1,2)aeq\f(3,2).

三、解答题

10．判断以下命题是否为全称命题或特称命题，假设是，用符号表示，并判断其真假．

(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；

(2)存在一条直线，其斜率不存在；

(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

(4)存在实数x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.

[解析](1)是全称命题，用符号表示为“?α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题

(2)是特称命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．

(3)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

(4)是特称命题，用符号表示为“?x0∈R，