2025版高考数学一轮复习第九章 计数原理、统计与概率第03讲 二项式定理（学生版）.docx

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第03讲二项式定理

（13类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2022年新I卷，第13题,5分

两个二项式乘积展开式的系数问题

无

2020年全国甲卷（理），

第8题,5分

求指定项的二项式系数

无

2020年全国丙卷（理），

第14题,5分

求指定项的系数

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解

2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解

3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算

4.会三项式、乘积式的相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习

知识讲解

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；

(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).

若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：

(1)h(r)＝0?Tr＋1是常数项．

(2)h(r)是非负整数?Tr＋1是整式项．

(3)h(r)是负整数?Tr＋1是分式项．

(4)h(r)是整数?Tr＋1是有理项．

注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．

注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．

二项式系数的性质

性质

内容

对称性

与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即

增减性

当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；

当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小

最大值

当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；

当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或

二项式系数和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.

考点一、求二项展开式的第项

1．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为.

1．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（????）

A． B． C．240 D．

2．（2023·北京·校考模拟预测）在的二项展开式中，第四项为．

考点二、求指定项的二项式系数

1．（2024·辽宁·模拟预测）二项式展开式的第3项的二项式系数是.

2．（2024·上海·三模）若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为．

1．（2024·全国·模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为．

2．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（????）

A．16 B．15 C．14 D．13

考点三、二项式系数和

1．（2024·浙江·三模）若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为.

2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为．（以数字作答）

1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（????）

A． B． C．10 D．