电路理论基础（第三版） 课件 第14章 网络方程的矩阵形式.pptx

第十四章网络方程的矩阵形式;14.1基本回路和基本割集;14.1基本回路和基本割集;14.1基本回路和基本割集;14.1基本回路和基本割集; 将某割集支路去掉后,原连通图分成两部分,若将其中一部分看作“广义节点”,则可选定

“指向”或“背离”该广义节点的方向为该割集的方向。例如,图14-2(a)中,封闭曲线处的箭头

表示选定的割集Q1的方向。

由于KCL不仅适用于节点,还适用于任一闭合面,因此属于同一割集的所有支路的电流应满足

KCL。即:集总参数电路中,在任一时刻,任一割集的所有支路电流代数和为零。其中,参考方向与

割集方向一致的支路电流取正号,相反的取负号。例如,在图14-2(a)中,割集Q1的KCL方程为

-ib–id+ie-if=0

将图中闭合面所包围的节点①和节点②的KCL方程相加,也可得到上式,这说明割集KCL方程是节点

KCL方程的线性组合。若某闭合面只包围一个节点,则所对应的割集就是该节点所连接的支路集合,

该割集的KCL方程就是该节点的KCL方程。即节点方程是割集方程的特例。; 对连通图的每个割集可列出一个KCL方程，但这些方程并不都是独立的。若一组割集的KCL方

程是独立方程，则该组割集称为独立割集。最多可获得多少个独立割集呢?由于割集方程的集合

包含节点方程，因此其中至少有n-1个独立方程;另一方面，由于任一割集方程都是节点方程的线

性组合，由线性代数理论可知，独立割集数不大于独立节点数n-1。以上分析可知，最多可获得

的独立割集数与独立节点数相同，即等于网络的树支数n-1。

怎样获得n-1个独立割集呢?方法之一是选择n-1个独立节点;方法之二是每选择一个割集，让

该割集包含一条新支路，选满n-1个为止;方法之三是采用基本割集法。基本割集法是一种系统的、

便于用计算机辅助分析的方法。

对一个含有b条支路、n个节点的连通图G，选定其一个树，根据树的定义，在树中去掉任一

条树支，都会将该树分离成两个连通的部分，这说明去掉任一条树支和足够多的连支，可将图G

分离成两部分。即每一树支和若干连支可构成一个割集，这样的割集称为基本割集或单树支割集。

n-1条树支对应n-1个单树支割集，称为基本割集组。基本割集组中各割集含有不同的树支，因此

基本割集组是独立割集组。; 例如，对前面图14-1(a)所示网络，若选定其一个树为图14-1(b)所示，支路1、2、3为树支，

则三条树支对应的三个基本割集分别如图14-3(a)、(b)、(c)中虚线所示。

图14-3基本割集示例

基本割集与所选择的树有关。; 网络的拓扑结构可用矩阵描述，以便于计算机识别和处理。本节介绍关联矩阵、回路矩阵、

割集矩阵以及用它们表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。

14.2.1关联矩阵

若一条支路与某两节点连接，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联关系可用

关联矩阵描述。关联矩阵与网络的有向拓扑图一一对应。一个节点数为n、支路数为b的有向图，

其关联矩阵Aa是一个n×b阶的矩阵。Aa的每一行对应着一个节点，每一列对应着一条支路。它

的第i行、第j列的元素aij定义如下:

(1)若支路j与节点i无关联，则aij=0；

(2)若支路j与节点i有关联，且它的方向背离该节点，则aij=1；

(3)若支路j与节点i有关联，且它的方向指向该节点，则aij=-1。

; 例如，图14-4所对应的关联矩阵为

（14-1）

图14-4关联矩阵示例;14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵;14.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵;14.2.2回路矩阵

若一个回路由某些支路组成，则称这些支路与该回路相关联。支路与独立回路的关联关系可

用独立回路矩阵描述。独立回路矩阵简称为回路矩阵。

一个节点数为n、支路数为b的有向图，其独立回路数为l=b-n+1。其回路矩阵B是一个l×b

阶的矩阵，B的每一行对应着一个独立回路，每一列对应着一条支路，它的第i行第j列的元素

Bij定义如下:

(1)若支路j与回路i无关联，则bij=0；

(2)若支路j与回路i有关联，且支路方向与回路绕行方向相同，则bij=1；

(3)若支路j与回路i有关联，且支路方向与回路绕行方向相反，则bij=-1。; 例如，图14-5所示网络，若选择三个网孔作为独立回路，回路绕行方向如图中虚线所示，则

所对应的回路矩阵为

若所选独立回路组为基本回路组，则对应的回路矩阵称为基本回路矩阵，用Bf表示。若支路

编号采取先连支后树支的次序，且将连支序号作为其所在基本回路的序号，将连支的支路方向作

为其基本回路的方向，则Bf中将出现一个l阶的单位子矩阵，即有

Bf=[1l Bt]