2023年上海市上海中学自主招生考试数学试卷含详解.docxVIP

全真考试卷（三）

上海市上海中学自主招生考试试卷

数学

满分150分,考试时间60分钟

1．已知,,求．

2．如图,已知,则点的坐标为．

3．已知,则．

4．已知直线与轴,轴交于点为正整数）,记为在对应时的面积大小,则．

5．有九个方格,把1到9这些正整数均填入其中,要使任意相邻的三个格子的和为3的倍数种填法．

6．如图,在中,,且,则．

7．有一数列（8项）,首项与末项均为1,每一项与前一项比均为1或2或,这种数列有种．

8．有组整数解．

9．解方程：．

10．如图,在长方形中,长为4,宽为为的中点,点在上,且,求．

??

11．三角形三边均为正整数,且满足,求三边长．

1．10

【分析】本题考查二次根式的化简求值,正确化简二次根式是解题关键．

先利用分母有理化进行化简,然后再求出和的值,从而利用完全平方公式进行计算,即可解答．

【详解】解：∵.

.

∴,.

∴

．

2．

【分析】本题考查平面直角坐标系和三角形全等的判定与性质,解直角三角形,添加辅助线并找到全等三角形是本题解题关键．

先作垂线,再由得,再通过的直角三角形特点解出各直角边长,从而得出点B坐标．

【详解】

如图,过点作轴于点.

过点作于点.

则.

.

.

.

．

又.

.

,．

在中,,.

,.

,.

点的坐标为,．

故答案为：,

3．1

【分析】本题考查了分式的运算,解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算,注意运用整体思想求解．

先由已知求,再全部展开得到,再次代入已知得到,再与开始相乘得到的结果建立分式方程,解出．

【详解】由题意,得

.

又

.

．

令,则

.

即．

故答案为：1．

4．

【分析】本题主要考查了一次函数的性质,三角形面积计算,解题的关键是根据一次函数性质求出,得出即可．

【详解】令,则.

令,则,解得.

∴.

.

．

5．1296

【分析】本题考查倍数．可以将9个格子分成3类,即从左到右第1,4,7个格子,从左到右第2,5,8个格子,从左到右第3,6,9个格子,再将同余的三个数间隔三个格子依次放入,再进行同余的数的内部排列,然后列式进行计算即可．

【详解】解：根据题意得：从左到右第1,4,7个格子里的数除以3的余数都相同,从左到右第2,5,8个格子里的数除以3的余数都相同,从左到右第3,6,9个格子里的数除以3余数都相同．

将同余的三个数间隔三个格子依次放入,再进行同余的数的内部排列,有

．

故答案为：1296

6．

【分析】本题是圆与三角形的综合题,主要考查了垂径定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是结合垂径定理延长,得到以及,进而得到．

【详解】

如图,延长交于点,连结．

．

,.

.

.

.

．

7．211

【分析】本题考查了数字的变化类,找到变化规律是解题的关键．

根据题意进行分类讨论,进行计算求解．

【详解】设后一项与前一项的比值为.

则．

当时显然成立（数列各项均为1）.

当有1个2时,必然有1个,其它均为1.

此时末项是负数不合题意.

当有2个2时,必然有2个,其它均为1.

则根据分组排列共有（种）.

当有3个2时,必然有3个.

此时末项是负数不合题意．

综上,这种数列有211种．

故答案为：211

8．9

【分析】本题考查偶次幂及绝对值的性质,结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．

根据偶次幂及绝对值的性质进行分类讨论即可．

【详解】将原方程配方并整理.

得.

,.

均为整数.

当时,或0.

当时,或0.

当时,或0．

综上,有9组整数解．

故答案为：9

9．或．

【分析】本题主要考查解分式方程和一元二次方程,解题的关键是熟练掌握分式运算技巧中的裂项相消法,先将方程左边进行化简,再将分式方程转化为一元二次方程求解并注意要验根．

【详解】

.

原方程可化为.

去分母并整理,得.

.

经检验或均是原方程的解．

故答案为：或

10．．

【分析】本题主要考查了长方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解一元二次方程,解题的关键是借助中点添辅助线构造全等三角形,并运用数形结合的思想方法分别用含未知数的式子表示线段,的长,进而根据列方程求出的长．

【详解】解：如图,延长,交于点．

??四边形是长方形.

.

.

．

是的中点,.

．

又.

.

,．

.

．设．

.

.

．

在中,.

.

.

两边平方并整理,得.

解得或（舍去）.

∴．

11．3,7,8或4,5,6．

【分析】本题考查因式分解的应用,关键是先确定z的值．

根据可设,然后得出,然后确定z的值,再求的值即可．

【详解】解：由题意不妨设．

,均为正整数.

,显然当时不等式不成立.

．

若,则.

整理,得,不符合题意.

若,则.

整理,得.

经检验,当时构成三角形.

若,则.

整理