二月数学每周好题精选（第一周）.docx

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二月数学每周好题精选（第一周）

1.已知复数z满足，i为虚数单位，则z等于()

A. B. C. D.

2.已知集合，，则()

A. B. C. D.

3.设等比数列的公比为q，前n项和为，使有最小值的一组和q可以为()

A.， B.，

C.， D.，

4.已知的展开式中，常数项为135，则a的值为()

A.2 B.2或 C.3 D.3或

5.设向量，的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为()

A.2 B. C. D.

6.临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为()

A. B. C. D.

7.已知球O的半径为3，P是球O表面上的定点，S是球O表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为()

A. B. C. D.

8.已知函数及其导函数定义域均为R，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则()

A.0 B.1 C. D.2

9.（多选）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩X服从正态分布.已知随机变量，若X与Y的方差相同，则下列结论正确的是()

附：若随机变量X服从正态分布，则，，.

A. B.

C. D.估计该市数学成绩在区间的考生约645人

10.（多选）已知函数，则下列选项中正确的是()

A.的最小值为

B.在上单调递增

C.的图象关于点中心对称

D.在上值域为

11.（多选）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是().

A.数列是等比数列 B.数列是等差数列

C. D.

12.（多选）已知抛物线的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于，两点，M为弦的中点，则下列说法正确的是()

A.抛物线C的焦点坐标是

B.

C.若，则

D.若以M为圆心的圆与C的准线相切，则是该圆的一条直径

13.已知圆柱的轴截面是边长为a的正方形，圆锥的轴截面是边长为b的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则___________.

14.若函数在内有最小值，则实数a的取值范围是________.

15.伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑.钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系式为，则函数___________.

16.2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：

认知情况

A类：不会读不会写

B类：会读不会写

C类：会读且会写但不理解

D类：会读、会写且理解

人数/万人

10

30

5

5

认知度分值

50

70

90

100

（1）求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；

（2）为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；

（3）若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望.

17.如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，.

（1）求证：平面BCE；

（2）若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半.

（ⅰ）求点C到平面AEF的距离；

（ⅱ）求平面AEF与平面BCF所成二面角的正弦值.

18.已知函数（其中），.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）当时，若恒成立，求a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：因为，所以，故选：A.

2.答案：D

解析：由，，可得，或，故，故选：D.

3.答案：B

解析：对于A，，，，数列是首项为，公比为的递减等比数列，因此，随着n的增大逐渐减小，无最小值，A不是；

对于B，，，，当时，，即