人教A版必修第二册高一（下）数学6.4.3.2正弦定理 教学设计（表格式）.docVIP

人教A版必修第二册高一（下）数学6.4.3.2正弦定理教学设计

课题

6.4.3.2正弦定理

课型

新授课

课时

2

学习目标

能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.

2.能用向量方法发现和证明正弦定理.

3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题.

学习重点

1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.

2.运用正弦定理解三角形.

学习难点

1.正弦定理的证明.

2.正弦定理在解三角形中的应用.

学情分析

本节课与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。并为以后学习余弦定理提供了方法上的模式，为运用正、余弦定理解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础，使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发他们的学习兴趣。而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。

核心知识

运用正弦定理解三角形.

教学内容及教师活动设计

（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）

教师个人复备

情景引入

探究问题：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：

在中，设的对边为a,B的对边为b，求A,B,a,b之间的定量关系.

如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在中，已知“A,B,a求b”的问题.

我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在中（如图），有

这两个式子有共同元c，

利用它把两个式子联系起来，可得

又因为sinC=sin90。=1，上式可以写成边与它的对角的正弦

的比相等的形式，即

在直角三角形中，有

对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？

因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量的方法来研究.

我们希望获得中的边a,b,c与它们所对角A,B,C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.

思考1：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？

由诱导公式可知，我们可以通过构造角

之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.下面先研究锐角三角形的情形.

-

---→

---→如图，在锐角中，过点A作与AC

---→

j，则j与的夹角为的夹角为.

---→-----→

---→-----→---→-----→

所以

由分配律，得j.

也即asinC=csinA,所以

同理如下图在钝角中，同理可得上述结论.

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质.

问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？

正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理，可以解决“已知两角和一边，解三角形”和“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.

正弦定理的拓展：

例题讲解

例9

例9

（1）在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.

解析：由正弦定理得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),sin60°)＝12.

(2)在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0.

∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形

(3)在△ABC中，s