2025年高考数学复习(新高考专用)重难点06利用导数研究函数的零点【九大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点06利用导数研究函数的零点【九大题型】

【新高考专用】

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【题型1判断、证明或讨论零点的个数】 2

【题型2零点问题之唯一零点问题】 3

【题型3零点问题之双零点问题】 3

【题型4根据零点情况求参数范围】 4

【题型5函数零点的证明问题】 5

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】 6

【题型7隐零点问题】 7

【题型8三角函数的零点问题】 8

【题型9与函数零点相关的综合问题】 8

1、利用导数研究函数的零点

导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程的根）问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大.

【知识点1导数中的函数零点问题的解题策略】

1．函数零点（个数）问题的的常用方法

(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.

2．导数中的含参函数零点（个数）问题

利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【知识点2隐零点问题】

1．隐零点问题

隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理.

2．隐零点问题的解题策略

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

【题型1判断、证明或讨论零点的个数】

【例1】（2024·四川凉山·二模）若fx=xsinx+cosx?1，x∈?π2,π，则函数fx的零点个数为（????

A．0 B．1 C．2 D．3

【变式1-1】（2024·北京房山·一模）若函数f(x)=ln(1?x),x∈?∞,0

A．1 B．2 C．1或2 D．1或3

【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx

(1)当a=12时，求

(2)当a=1时，判断fx

【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx

(1)讨论fx

(2)若关于x的不等式fx≤2x?2e在

【题型2零点问题之唯一零点问题】

【例2】（2024·四川成都·三模）若函数fx=ex?k

A．4 B．2e C．e2

【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=2x?kx?b恰有一个零点x0，且

A．?∞,1?ln2ln2 B．

【变式2-2】（2024·广东汕头·三模）已知函数f(x)=x(e

(1)若曲线y=f(x)在x=?1处的切线与y

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求

【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数f(x)=3x2+msinx(x0)

(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程，

(2)若函数gx=fx?mxcos

【题型3零点问题之双零点问题】

【例3】（2024·四川内江·三模）若函数f(x)=lnxx?x

A．(0,e) B．(e,+∞)

【变式3-1】（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数fx=xlnx?x+x?a

A．?1e,0

C．?2e,0

【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=xe1x?a(x0)，且

(1)求实数a的取值范围