2025年高考数学复习(新高考专用)重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】

【新高考专用】

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【题型1两次使用余弦定理】 3

【题型2等面积法】 3

【题型3解三角形中的中线模型】 4

【题型4解三角形中的倍角模型】 5

【题型5解三角中的角平分线模型】 6

【题型6解三角中的高模型】 8

【题型7解三角形中的等分点模型】 9

【题型8三角形的重心问题】 10

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】 11

1、解三角形的图形类问题和重要模型

解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解.

【知识点1三角形图形类问题的解题策略】

1．解决三角形图形类问题的常用方法：

(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理

的性质解题；

(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

【知识点2解三角形中的重要模型】

1.中线模型

(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.

(2)向量法：.

2.倍角模型

，这样的三角形称为“倍角三角形”．

推论1：；

推论2：.

3.角平分线模型

角平分线张角定理：如图，为平分线，则

斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．

4.等分点模型

如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.

易知∥，且，，．

【题型1两次使用余弦定理】

【例1】（2024·河南·三模）在△ABC中，AB=32,cos∠BAC=?13,AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD=3，则sinC=（???）

A．13 B．33 C．63

【变式1-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为（

A．74 B．72 C．3

【变式1-2】（2024·浙江台州·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC=2ccosA，则

A．3 B．32 C．32

【变式1-3】（2024·陕西咸阳·三模）在△ABC中，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，M为边AC上一点，满足MC=3AM，若a2+c2?b2

A．72 B．37 C．37

【题型2等面积法】

【例2】（2024·海南·模拟预测）在△ABC中，∠ACB的平分线与对边AB交于点D，若△CAD的面积为△CBD的2倍，且CD=2,∠ACB=120°，则BC=（

A．3 B．4 C．6 D．8

【变式2-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC=120°，AB=23，AD=233，则

A．2 B．3 C．3 D．2

【变式2-2】（2024·湖南长沙·三模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=2,b=4.

(1)若cosB+2cosA=c

(2)若D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB,cos∠ACB=?1

【变式2-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，b(sinB+sinC)=

(1)求A；

(2)A的平分线AD交BC于D点，9b+c=64，求AD的最大值．

【题型3解三角形中的中线模型】

【例3】（2024·全国·模拟预测）记△ABC的内角∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，已知2bcos

(1)求∠BAC．

(2)若b+c=8，且边BC上的中线AD=192，求

【变式3-1】（2024·湖南长沙·三模）如图，在△ABC中，已知AB=3,AC=6,A为锐角，BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,△ABC的面积为93

(1)求BC的长度；

(2)求∠APB的余弦值.

【变式3-2