2025年高考数学复习(新高考专用)重难点13极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】

【新高考专用】

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【题型1利用极化恒等式求值】 3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】 4

【题型3利用等和线求基底系数和的值】 4

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 5

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

【知识点1极化恒等式】

1．极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

.

证明：不妨设，则，，

①，

②，

①②两式相加得：

.

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：————极化恒等式

平行四边形模式：.

2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和(高)线定理】

1．等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OAB相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立.

(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.

①当等和线恰为直线AB时，k=1；

②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；

③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】（2024·贵州毕节·三模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA?CA=7，BE?CE=2，则BF?CF=（????）

A．?2 B．?1 C．1 D．2

【变式1-1】（23-24高三上·福建厦门·期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD?

A．?34 B．?89 C．

【变式1-2】（2024高三·江苏·专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB?AD=－7，则BC

【变式1-3】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF?FG+

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三·全国·专题练习）半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点

A．[?4，14) B．[0，4) C．[4，14] D．[4，16]

【变式2-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM?

A．[?1,5] B．[?1,7]

C．[0,2] D．[1,5]

【变式2-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP?OQ

【变式2-3】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）在面积为2的平行四边形中ABCD中，∠DAB=π6，点P是AD所在直线上的一个动点，则

【题型3利用等和线求基底系数和的值】

【例3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34

A．32 B．?112 C．1

【变式3-1】（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，点

A．0 B．14 C．12

【变式3-2】（23-24高一上·江苏常州·期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均为实数，则

【变式3-3】（2