2025年高考数学复习(新高考专用)重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】

【新高考专用】

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【题型1截面作图】 2

【题型2截面图形的形状判断】 4

【题型3截面图形的周长或面积问题】 5

【题型4球的截面问题】 6

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】 6

【题型6交线长度、轨迹问题】 7

【题型7截面的范围与最值问题】 8

1、立体几何中的截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

【知识点1立体几何中的截面问题】

1．作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.

2．球的截面

(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O为圆心的截面的半径

为r，OO=d.则在Rt△OOC中，有，即.

【知识点2立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1．立体几何截面问题的求解方法

(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.

2．截面、交线问题的解题策略

(1)作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

【题型1截面作图】

【例1】（2024·河南新乡·三模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC=2DE=4，BC=2，DC=1，∠BCD=60°.

??

（1）证明：BD⊥平面ACDE；

（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积.

【变式1-1】（2024高一下·广东佛山·竞赛）如图，在正方体ABCD?A1B1C

??

(1)请在正方体的表面完整作出过点E?

(2)请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.

【变式1-2】（2023·贵州·模拟预测）矩形ABCD中，AB=3,AD=1（如图1），将△DAC沿AC折到△D1AC的位置，点D1在平面ABC上的射影

(1)证明：AD

(2)过D1E的平面与BC平行，作出该平面截三棱锥D1?ABC所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所得两部分的体积分别为

【变式1-3】（23-24高一下·河北廊坊·阶段练习）如图正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，

(1)画出平面α截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；

(2)求（1）中截面多边形的面积；

(3)平面α截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.

【题型2截面图形的形状判断】

【例2】（2024·四川达州·二模）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB中点，

??

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形

【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1

A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形

【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（????）

A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）

【变式2-3】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC，点P，Q，T分别在棱BB1，C

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