大学物理常用高数基础知识.pptVIP

补高等数学：矢量（向量）代数

（同济大学《高等数学》第五版第7章第一、二节）一、矢量（向量）的概念及其表示1.标量与矢量（向量）代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、功、势能……）既有大小又有方向（力、速度、加速度、力矩、动量……）标量算术量（质量、时间间隔、动能……）矢量：2.矢量的表示（1）图示：有（方）向线段：长度是矢量的大小箭头方向是矢量的方向（3）矢量的平行：a//b（箭头指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：——大小、方向（含指向）都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）3.矢量的模：一般地：恒为正则称分矢量（分向量）所以：单位矢量：，仅用来表示方向。01注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的单位矢量分别为矢径（向径：从原点出发的矢量）其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而注意：分量是代数量（可正可负）！所以，矢径或其末端的点P都可以用三个坐标（x，y，z）来表示.5.矢量的坐标分解式（分量式）02由若P点（或矢径）在YOZ平面上，则x=0；若P点（或矢径）在ZOX平面上，则y=0；若P点（或矢径）在XOY平面上，则z=0。若P点（或矢径）在x轴上，则y=z=0；若P点（或矢径）在y轴上，则x=z=0；若P点（或矢径）在z轴上，则x=y=0。若P点为原点，则x=y=z=0或P（x，y，z）可知：1已知矢量的分量求矢量的大小和方向2大小：矢径的大小：3一般地：4方向：方向角?、?、?或方向余弦：5已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量6注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。二、矢量的加减法矢量相加的平行四边形法则（见图7-3）矢量相加的三角形法则（见图7-2）多个矢量相加的多边形法则（见图7-5）4.矢量的加法所满足的运算规律交换律：结合律：5.矢量的减法因为：由矢量相加的三角形法则可得：即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。6.矢量加减的坐标表示式矢量与数量的乘法方向与另一个数量相乘的结合律：2.满足的运算规律模（大小）：当λ0时（可视为）方向与相同当λ0时（可视为）方向与相反定义：分配律：3.矢量与数量相乘的坐标表示式四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：一般地：θ2.两个推论：（1）（2）若两非零矢量，则反之，若，则必有注意；“点”不能掉！标量积满足的运算规律标量积的坐标（分量）表示式交换律：分配律：满足一定条件下的结合律（略）一般地：大小：方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）1.定义：如力矩：大小：力矩是矢量，方向沿转轴，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。注意；“×”不能掉！抽象出矢量积：大小：方向见上d?反之，若，则必有：若两个非零矢量，则：满足或不满足的运算规律不满足交换律，而是：满足分配律：满足如下的结合律：2.两个推论：矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法或﹡阅读《高等数学》P289—307﹡整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）以为邻边的平行四边形的面积。作业：5.矢量积（大小）的几何意义复习：标量积和矢量积标量积满足交换律：大小：方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。矢量积不满足交换律，而是：标量积：矢量积：微积分

（《高等数学》第二章第一、二、三、五节；