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2022年全国高中数学联赛(四川预赛)(含答案)

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2022年全国高中数学联赛(四川预赛)试题

(考试时间：2022年5月22日14:30-16:30)

一、填空题:本大题共8小题,每小题8分，满分64分.

1.己知正实数q、b满足渺=(8。产,则1。(4/)值为.

2.己知平面向量a、b满足：|a|=1,||=2,a•=1,记向量a+26与向量2a-6的夹角为们

则cos。的值为.

2

3.已知数列｛a几｝，两足：Qi=1,Q.2=2,Q2^+1=~~»且。2+2=2Q.2A+i—Q2A(k£N)，则0-2022的末两位

a2fc-l

数字为•

4.己知实数工、满足了|』+义掣~=1,则|V3x+t/—4|的取值范围为・

O

5.已知函数｛1,2,…，10｝-｛1,2,3,4,5｝,且对一切fc=l,2,•••,9,有|/(fc+l)-/(fc)|3.

则符合条件的函数了的个数为・

6.若ZVIBC的三边a、b、c满足a2+fe2+3c2=7,则△ABC面积的最大值为.

7.已知函数/(%)在(0,+8)上严格单调递减，对任意％€(0,4-oo),均有/(%)•/*(/(%)+告)=*，

记()=f(x)+4^2,a;6(0,+8),则函数(；r)的最小值为・

8.至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为.

二、解答题:本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9.(本题满分16分)如图所示，ABCD是一个矩形，AB=8,BC=4fM.N分别是AB、CQ的中点,

以某动直线Z为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点M都落在边8上，记为AT.

过AT作垂直于CD交直线/于点F.设点P的轨迹是曲线E.己可M，C

(1)建立恰当的直角坐标系,求曲线E的方程；~7

(2)F是MN上一点9FN=3FMf过点F的直线交曲线E于S、T方

两点，且昴=4旅,求实数A的取值范围.I毕一-T

AMB

10.(本题满分20分)己知各项均为正整数的数列｛%｝满足:对于任意的正整数m、加都有aini=^n及

Qm2+A=QmQk，求数列｛%｝的通项公式.

11.(本题满分20分)对任意正实数q、b、c及任意正实数r1,求证：

a+b+cv+廿+c

b+cc4-aq