2024-2025学年上海市进才中学高三下学期2月练习数学试卷含详解.docxVIP

进才中学高三数学练习试卷

2025.02

一?填空题

1.已知,则_______________.

2.若复数是方程的一个虚根,则__________．

3.记等差数列的前项和为,则______.

4.曲线在点处的切线的斜率是_________.

5.已知集合,则__________．

6.在的展开式中,的系数为,则________.

7.已知向量,若,则__________．

8.从1,2,3,4,5,6这六个数中任选三个数,至少有两个数为相邻整数选法有______种

9.已知函数的值域为,则实数的取值范围为__________．

10.已知椭圆：,过左焦点作直线与圆：相切于点,与椭圆在第一象限的交点为,且,则椭圆离心率为______.

11.设,函数,若在区间内恰有6个零点,则的取值范围是__________．

12.若,已知数列中,首项,,,则_________.

二?选择题

13.为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系,某课题研究小组采集了9组数据,绘制散点图如图所示,并对进行线性回归分析．若在此图中加上点后,再次对进行线性回归分析,则下列说法正确的是（）

A.不具有线性相关性 B.相关系数变大

C相关系数变小 D.相关系数不变

14.如下四个正方体中,为底面的中心,为所在棱的中点,为正方体的顶点．则满足的共有（）个

A.1 B.2 C.3 D.4

15.已知函数．若存在,,使得,则的最大值为（）

A. B. C. D.

16.如图所示,在边长为3的等边三角形中,,且点在以的中点为圆心,为半径的半圆上,若,则下列说法错误的是（）

A. B.

C.存在最大值为9 D.的最大值为

三?解答题

17.已知在中,.

（1）判断形状,并说明理由;

（2）若点在边上,且.若,求的面积.

18.如图,在三棱锥中,底面是边长为2的等边三角形,平面,点是的中点,点在线段上且,为三角形的重心.

（1）求证：平面.

（2）当的长为何值时,二面角的大小为.

19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间,我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩?防护服?消毒水等防疫物品,保障抗疫一线医疗物资供应,在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产同时,狠抓质量管理,不定时抽查口罩质量?该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下五组：,得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高,说明该口罩质量越好,其中质量指标值低于130的为二级口罩,质量指标值不低于130的为一级口罩.

（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数.

（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩,再从中抽取3个,记其中一级口罩个数为,求的分布列及方差.

（3）在2024年“五一”劳动节前,甲?乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购,其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲?乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为,记甲?乙两人抢购成功的口罩总数量为,求当的数学期望取最大值时正整数的值.

20.已知和为椭圆：上两点.

（1）求椭圆的离心率.

（2）过点的直线与椭圆交于,两点（,不在轴上）.

（i）若的面积为,求直线的方程.

（ii）直线和分别与轴交于,两点,求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.

21.微积分创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断,从几何上看,定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积,根据微积分基本定理可得,因为曲边梯形的面积小于梯形的面积,即,代入数据,进一步可以推导出不等式：．

（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,证明：.

（2）已知函数,其中．

①证明：对任意两个不相等的正数,曲线在和处的切线均不重合.

②当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围．

进才中学高三数学练习试卷

2025.02

一?填空题

1.已知,则_______________.

【答案】2

【分析】根据函数的解析式,结合指数式与对数式的运算法则,即可求解.

【详解】由题意,函数,令,所以.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了函数的求值问题,其中解答中熟记指数式与对数式的运算是解答的关键,着重考查运算与求解能力.

2.若复数是方程的一个虚根,则__________．

【答案】2

【分析】求出方程的复数根即可得解.

【详解】方程,故该方程的解为.

因为

所以由题意可得.

故答案为：2.

3.记等差数列的前项和为,则______.

【答案】160