2025版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件与概率讲义理含解析新人教A版.docVIP

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第4节随机事务与概率

考试要求1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事务与样本点的关系；2.了解随机事务的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事务的并、交运算；3.理解概率的性质，驾驭随机事务概率的运算法则；4.会用频率估计概率.

知识梳理

1.样本点和样本空间

随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的全部样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.

2.概率与频率

(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率.

(2)概率：对于给定的随机事务A，由于事务A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).

3.事务的关系与运算

定义

符号表示

包含关系

假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)

B?A

(或A?B)

相等关系

若B?A且A?B

A＝B

并事务

(和事务)

若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生，称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)

A∪B(或A＋B)

交事务

(积事务)

若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)

A∩B(或AB)

互斥事务

若A∩B为不行能事务，则称事务A与事务B互斥

A∩B＝?

对立事务

若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务

A∩B＝?

P(A∪B)＝1

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必定事务的概率P(E)＝1.

(3)不行能事务的概率P(F)＝0.

(4)互斥事务概率的加法公式

①假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

②若事务B与事务A互为对立事务，则P(A)＝1－P(B).

[微点提示]

1.任一随机事务A都是样本空间Ω的一个子集，称事务A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.

2.从集合的角度理解互斥事务和对立事务

(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事务A的对立事务eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集.

3.概率加法公式的推广

当一个事务包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

基础自测

1.推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)事务发生的频率与概率是相同的.()

(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.()

(3)若随机事务A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组

[10，20)

[20，30)

[30，40)

[40，50)

[50，60)

[60，70)

频数

2

3

4

5

4

2

则样本数据落在区间[10，40)的频率为()

A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65

解析由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，

所以样本数据落在区间[10，40)的频率为eq\f(9,20)＝0.45.

答案B

3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，事务“至少有一名女生”与事务“全是男生”()

A.是互斥事务，不是对立事务

B.是对立事务，不是互斥事务

C.既是互斥事务，也是对立事务

D.既不是互斥事务也不是对立事务

解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种状况，这两种状况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事务，也是对立事务.

答案C

4.(2024·北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面对上恰有5次”是()

A.必定事务 B.随机事务

C.不行能事务 D.无法确定

解析抛掷10次硬币正面对上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面对上5次是随机事务.

答案B

5.(2024·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()

A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7

解析某群体中