多元函数的微积分.pptVIP

六．曲面的切平面与法线*1曲面的切平面：曲面?上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上．这个平面称为曲面?在点M的切平面．2曲面的法线：通过点M(x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该3曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量．点的法线．其中函数z=f(x,y)具有连续的一阶偏导数,法线的方程为切平面方程为：*6.2多元函数的微积分主要内容：一.多元函数的概念二.二元函数的极限和连续三.偏导数的概念及简单计算四.全微分五.空间曲线的切线与法平面六.曲面的切平面与法线七.多元函数的极值二元函数的定义：一.多元函数的概念*设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)?D，当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函数类似地可定义三元及三元以上函数．z=f(x，y)(或z=f(P))变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数)，记为其中D称为定义域，x，y称为自变量，z称为因变量．二元函数的图形：二元函数的图形是一张曲面．例z=ax+by+c是一张平面，xyzOx0y0M0点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)?D}称为二元函数z?f(x，y)的图形．由方程x2?y2?z2?a2确定的函数z=f(x，y)有两个：由方程x2?y2?z2?a2确定的函数z=f(x，y)是中心在原点，它的定义域为D={(x，y)|x2?y2?a2}．Oxy半径为a的球面．二.二元函数的极限和连续

1.二元函数的极限设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e总存在正数d，使得对于适合不等式1都有|f(x，y)?A|e成立，则称常数A为函数f(x，y)当x?x0，y?y0时的极限，记为2这里r?|PP0|．3我们把上述二元函数的极限叫做二重极限4定义5的一切点P(x，y)?D，6注意：*(1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A.例当点P(x，y)沿x轴、y轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，当点P(x，y)沿直线y=kx趋于点(0，0)时(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在．2.二元函数的连续性*则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续．定义：设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)?D．123654如果二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去．函数f(x，y)在区域(开区域或闭区域)D内连续：是指函数f(x，y)在D内每一点连续．此时称f(x，y)是D内的连续函数．所以函数在原点不连续.例４函数在单位圆上各点是否连续？解：如果函数在单位圆上任何点都连续若在单位圆上任何点都不连续*设函数z?f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量?x时，相应地函数有增量f(x0??x，y0)?f(x0，y0)，（１）如果极限存在，则称此极限为函数z?f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记作定义偏导数的概念及简单计算

1.偏导数的概念：记作（２）如果极限则称此极限为函数z?f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，存在，偏导函数：*对自变量的偏导函数，记作如果函数z?f(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z?f(x，y)类似地，可定义函数z?f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导函数，记为偏导数与偏导函数的关系：2.一阶偏导数的计算*注意：看成二者之商.例3求z?x2?3xy?y2在点(1，2)处的偏导数．解3.二阶偏导数的计算*按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数二阶偏导数：设函数z?f(x，y)在区域D内具有偏导数那么在D内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函数．如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z?f(x，y)的二偏导数．二阶及二阶以上的偏