湖南省永州市文宇高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题.docxVIP

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湖南省永州市文宇高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则下列结论正确的是（????）

A．集合中一定有4个元素

B．集合中可能只有2个元素

C．集合为空集

D．集合可能有1个元素

2．已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（???）

A．9 B．1 C．-7 D．

3．已知的图象为，为了得到的图象，只要把上所有的点（????）

A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度

4．已知双曲线的左，右焦点分别为，．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为3，是面积为6的直角三角形，则双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

5．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，，，，则该四棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

6．记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（????）

A．

B．

C．若，则；若，则；

D．若，则；若，则；

7．定义一个集合，其元素是空间内的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为坐标原点）．已知，则的充分条件是（????）

A． B．

C． D．

8．设表示不大于的最大整数，如，，若正数a满足，则（????）

A．10 B．11 C．12 D．13

二、多选题

9．对于的二项展开式，下列说法正确的有（????）

A．二项展开式共有个不同的项 B．二项展开式的第项为

C．二项展开式的各项系数之和为 D．二项展开式中系数最大的项为第项

10．若实数，满足则下列选项一定正确的有（????）

A． B．

C． D．

11．记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（????）

A．

B．，，成等比数列

C．若，则数列的前n项和为

D．若，则存在正整数M，使得当时，

三、填空题

12．对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数为．

13．圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为．

14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为．

四、解答题

15．在中，角，，的对边分别为，，，且的面积．

(1)求的大小；

(2)若的外接圆半径为3，求周长的取值范围．

16．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点．

(1)若为的中点，证明：平面；

(2)设直线与平面所成的角为，求的最大值．

17．一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．

(1)若，求的数学期望；

(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．

18．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中．

(1)求椭圆E的方程．

(2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值．

(3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

19．已知是的一个非空子集，是定义在上的函数，对于点，函数．若对于，满足在处取得最小值，则称是的“最近点”．

(1)若，，，求证：对于点，存在点，使得是的“最近点”；

(2)若，，，请判断是否存在一个点，它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直；

(3)若，已知是可导的，的定义域为且函数值恒为正，，，，若对于任意，都存在曲线上的一点，使得既是的“最近点”，又是的“最近点”，试判断的单调性．

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《湖南省永州市文宇高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

B

D

C

A

C

AC

BCD

题号

11

答案

CD

1．D

【分析】根据题意逐项分类讨论，即可得出结论.

【详解】集合，

当时，，集合中只有3个元素，故A错误；

集合中必有元素3，集合中必有元素1和4，故中不可能只有2个元素，故B错误