矩阵的特征值与特征向量.pptVIP

第四章矩阵的特征值;引例矩阵与向量的乘法设;一、矩阵的特征值与特征向量的概念;二、矩阵的特征值与特征向量的求法;特征多项式和特征方程的定义;推论1如果?是A的属于?0的特征向量，;例设矩阵;当;当;例设矩阵;例n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的

特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,?,ann.;练习;当;求矩阵特征值与特征向量的步骤：;关于矩阵的特征值的几点说明;3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.一个特征向量不能属于不同的特征值.;例4设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),

且A的特征值都是1,证明:A=I.;定理1假设x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量,

那么k1x1+k2x2也是A的属于l0的特征向量.

(其中k1,k2是任意常数但k1x1+k2x2?0);称A的主对角元的和;它们的和等于

?(a11+a22+…+ann)?n?1=;结论：;矩阵的特征值和特征向量的重要性质:;证(ii)A(Ax)=A(lx)=l(Ax)=l(lx),;性质2矩阵A和AT的特征值相同.;因?是A的特征值,故有p?0使Ap=?p.;例设A为可逆矩阵,?为A的特征值,;例设三阶矩阵A的特征值为;例;定理4.3：n阶矩阵A的互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关;练习题解答;那么称A相似于B,;例设;可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.;(1)P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P

其中k1,k2是任意常数.;=|A–?I|.;证明;证明;解（1）;一、矩阵可对角化的条件;证明;充分性;定理4.6设?1,?2,…?m是方阵A的m个;k1?1?1+k2?2?2+…+ks?s?s=0(3);推论如果n阶矩阵A有n个互不相同的

特征值?1,?2,…,?n,那么A与对角矩阵?相似.

其中?的主对角线的元依次为?1,?2,…,?n.;定理4.7设n阶矩阵A的相异特征值为;例如;假设矩阵A的特征值中有重根，设A的所有不同特征值;二、矩阵对角化的步骤;Step2:对A的每个特征值?i,;例1设有矩阵;解;当;P-1AP=?.;〔2〕使P-1AP=?成立的P、?不唯一.;例2判定以下矩阵是否相似于对角矩阵,;(2)解;当;例3设;A相似于对角矩阵的充分必要条件是,;例4设3阶矩阵A的特征值为;因为A=P?P-1，所以A100=P?100P-1,;第三节实对称矩阵的;设?1??2是A的两个特征值，p1,p2

分别为A的属于特征值?1,?2的特征向量，于是

?1p1=Ap1,?2p2=Ap2,?1??2.;例1设有实对称矩阵;证明;A1=RTAR为(n–1)阶实对称矩阵.;二、实对称矩阵对角化方法;Step1求出特征方程det(?I–A)=0的;解;当;当;例3设;A的特征多项式为;当;例4求一个阶实对称矩阵A，它的特征值为6,3,3,;解得根底解系;例5设实对称矩阵A和B是相似矩阵，证明：;例6假设n阶实对称矩阵A和B的特征值完全相同，

证明存在正交矩阵T和n阶矩阵Q,使A=QT和B=TQ

同时成立。;例7设A和B都是n阶实对称矩阵，

假设存在正交矩阵T，使T?1AT,T?1BT都是对角阵，

那么AB是实对称矩阵。