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第10章概率

【章头语】通过上一章的学习可知,许多实际问题都可以用数据分析的方法解决,即通

过随机抽样收集数据,再选择适当的统计图表描述和表达数据,并从样本数据中提取需要的

信息,估计总体的统计规律,进而解决相应的问题.从中可以看到,用样本推断总体,当样本量

较小时,每次得到的结果往往不同;但如果有足够多的数据,就可以从中发现一些规律.例如,

每天你从家到学校需要的时间(精确到分)不能预知;如果你记录一周,会发现每天所用的时

间各不相同;如果在一个月或一学期内记录下每次所用的时间,通过数据分析你会发现,所用

的时间具有相对稳定的分布规律.又如,从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个,事先

不能确定它的颜色;有放回地重复摸取多次,记录摸到的球的颜色,从记录的数据中就能发现

一些规律,例如红球和白球的大概比例,进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性大概是

多少等等.这类现象的共性是:就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观

测下,各个结果出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象,它是概率论的研究对象.

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机发生可能性大小的度

量,它已渗透到我们的日常生活中,成为一个常用词汇.本章在初中的基础上,结合具

体实例,继续研究刻画随机的方法;通过古典概型中随机概率的计算,加深对随机现

象的认识和理解;通过构建概率模型解决实际问题,提高用概率的方法解决问题的能力.

10.1随机与概率

【节引言】在初中,我们已经初步了解了随机的概念,并学习了在试验结果等可能

的情形下求简单随机的概率.本节进一步研究随机及其概率的计算,探究随

机概率的性质.

10.1.1有限样本空间与随机

研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果.例如,将一枚硬币抛郑2

次,观察正面、出现的情况;从你所在的班级随机选择10名学生,观察近视的人数;在一

批灯管中任意抽取一只,测试它的;从一批发芽的水稻中随机选取一些,观察分檴

数;记录某地区7月份的降雨量;等等.

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(randomexperiment),简称试验,

常用字母示.我们感的是具有以下特点的随机试验:

(1)试验可以在相同条件下重复进行;

(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.

【思考】

体育摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,⋯,9的球放入摇奖器

中,经过充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果？如

何表示这些结果?

观察球的号码,共有10种可能结果.用数字示“摇出的球的号码为这一结果,

那么所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

我们把随机试验每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验

样本空间(samplespace).一般地,我们用Ω表示样本空间,用示样本点.在本书中,我们只

讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有可能结果,,⋯,,则称样本空间Ω=

{}

,,⋯,为有限样本空间.有了样本点和样本空间的概念,我们就可以用数学方法描

述和研究随机现象了.

【贴示】奥地利数学家米泽斯(RichardvonMises在1928年引进了样本空间

的概念.

例1抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间.

解:因为落地时只有正面朝