2024年高考数学一轮复习专题19同角三角函数基本关系式及诱导公式含解析.docVIP

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专题19同角三角函数基本关系式及诱导公式

必威体育精装版考纲

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

基础学问融会贯穿

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．

2．三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

函数名不变，符号看象限

函数名变更，符号看象限

【学问拓展】

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα.

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变更．

重点难点突破

【题型一】同角三角函数关系式的应用

【典型例题】

α是第四象限角，tanα，则sinα＝（）

A． B． C． D．

【解答】解：∵α是第四象限角，，

∴cosα，

∴sinα．

故选：B．

【再练一题】

已知，若θ是其次象限角，则tanθ的值为（）

A． B．﹣2 C． D．

【解答】解：∵，

∴sin2θ+cos2θ＝（）2+（）2＝1，

解得：a＝0，或a＝4，

∵θ为其次象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．

∴a＝4，

∴可得：sinθ，cosθ，tanθ．

故选：C．

思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要依据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时留意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．

(3)留意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

【题型二】诱导公式的应用

【典型例题】

已知，则cos（60°﹣α）的值为（）

A． B． C． D．

【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α），

故选：C．

【再练一题】

已知，则（）

A．5 B．﹣5 C． D．

【解答】解：∵，

∴2，解得：tanα＝﹣5，

∴．

故选：C．

思维升华(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算．

【题型三】同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

【典型例题】

已知cos（α），|α|，则tanα等于（）

A．﹣2 B．2 C． D．

【解答】解：∵cos（α）＝﹣sinα，|α|，

∴sinα，cosα，

∴tanα2．

故选：A．

【再练一题】

已知，θ在第四象限，则．

【解答】解：∵，θ在第四象限，

∴sinθ，

∴sinθ．

故答案为：．

思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，敏捷运用公式进行变形．

(2)留意角的范围对三角函数符号的影响．

基础学问训练

1．【河北省深州中学2024-2025学年高一下学期期末考试】若，则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

因为tan＝3，所以cos

所以：.

故选B.

2．【四川省凉山州2024-2025学年高一上学期期末检测】已知是第三象限角，，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，

得sinα，

故选：D．

3．【安徽省淮北师范高校附属试验中学2024-2025学年高一下学期其次次月考】已知，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解：∵，

∴两边平方可得：，

∴即

故选：D.

4．【甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一下学期其次次段考】的