2025年数形结合的策略 .pdfVIP

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

数形结合的策略

数形结合是中学数学极为重要的一种数学思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结

合起来，通过“以形助数、以数析形”来解决数学问题．如何有效实现数形结合？

一、知识整合是实现数形结合的重要基础

1．实数与数轴上的点的对应关系；

2．有序实数对与直角坐标系中点的对应关系；

3．函数与其图像的对应关系；

4．方程与曲线的对应关系；

5．以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如向量、空间点的坐标、三角函数等；

6、所给的等式或代数式的结构有明显的几何意义．

二、把握特性是实现数形结合的重要环节

1.准确性．

几何图形要准确，过哪些特殊点、对称特征、单调性、与某直线无限接近等要正确、全面反

映在图形中，千万不可随意而画；数“”的精确计算更是不可轻视．

2.等价性．

数形之间的沟通、转化要遵循等价原则．以形助数时，数“”的范围不能扩大缩小，以数辅形

时“形”的样子不能走样．

3.双向性．

既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求．当图形不能精确刻画数量关系时，

就得利用“数”的精确性和规范严密性来解决；当“数”的转化难以突破时，可借助形的直观性、

生动性阐明数之间的联系．

三、寻求关系是实现数形结合的重要途径

1．形“”中觅“数”，从图形中寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决．

①借助函数的图像或方程的曲线研究其性质．

②向量的坐标运算．

③立体几何的研究，可利用空间直角坐标系．

④解析法等．

例1已知和点m满足，若存在实数m使得成立，则m=（）

A．2B．3

C．4D．5

解：建立如图所示直角坐标系设B(xb,0),C(xc,yc)M(x,y)

老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃

2．“数”中扬“形”，在有关数的问题上通过观察发现所具有的某种几何特性，建立数与形的新

关系，将代数问题转化为几何问题，使问题更具直观性．

①代数式的几何意义

a、表示数轴上两点间距离．

b、表示点(x0,y0)到直线Ax+By+c=0距离的倍．

c、表示点(x,y)与点(m,n)间距离．

d、z=mx+y表示直线y=-mx+z在y轴上截距．

e、表示点(x,y)与点(m,n)连线斜率．

f、表示f(x)图像与x轴、直线x=a直线x=b、所围成图形面积．

②等式（如）f(-x)=f(x)或不等式成立刻画图形的对称性、单调性等．

③解方程或不等式，通过构造函数，转化为研究两函数图像的交点的横坐标或两图上下位

置关系问题．

④二元不等式与线性规划、可行域有关．

⑤研究一些代数式的最值、参数的范围，由其结构特征，构造出与之相应的几何图形，分

析图形特点和其变化规律（相切、垂直、平行等）求解．

例2：求函数的最值

解：

而u是直线y=-x+u在轴上的截距，如图，由直线与椭圆相切于第一象限得

3．“数”、形“”结合，用形“”分析数“”，用数“”研究形“”，相互结合，互为补充，做到胸中有

“图”，心中有“数”，使问题直观、简洁．

例3：已知函数f(x)=-x2+8x的图像与g(x)=6lnx+m的图像有且只有三个不同的交点，求实数

m的取值范围．

解：令h(x)=g(x)-f(x)

即研究h(x)=6lnx+x