2025高考数学二轮复习-函数与不等式71-80-专项训练【含答案】.docxVIP

弟二章二次函数,十大专题

(2)若则当时,

问题获证.

综上可知,当时,有.

另解:分四段区间讨论

(1)当时，

(2)当时，

(3)时

(4)时

$

综上可知命题获证.

变式训练

已知函数数当时且的最大值为2,则

[例5]已知当时试求的最大值.

解析由

得

所以

又为常数)滿足题设条件,所以的最大值为.

解析由题意知,

因为,

所以.

则,

即

[例7]已知函数

(1)当时,若对任意都有,求证;

(2)当时,求证:对任意的充要条件是;

(3)当时,讨论:对任意的充要条件.

[解析解法1:(1)依题意知,对任意都有

因为

所以因为所以.

(2)充分性:因为对任意.可推出即

又因为对任意可知

所以.

必要性:对任意所以所以即

又因为所以由知即所以故.

综上,对任意的充要条件是.

(3)当时,对任意即

又由知即即,

而当时,

因为所以所以在[0,1]上是增函数，

故在时取得最大值$1,$所以,

所以当时,对任意的充要条件是

解法2:(1)同解法1.

（2）对任意的，由得,据此可得即

对任意由得因为所以即，

所以所以.

(3)当时,对任意,

有即

由得即,

由得即,

由得，

所以当时,对任意的充要条件是

解法3:(1)同解法1.

(2)参数分离法,

(3)参数分离法，

令

令

所以因为为所以.

十、二次函数基本问题

对称轴与判别式

解析：由题意有则

同理可证的情形.

(二)抛物线过定点

[例1]已知二次函数则函数图象过定点

答案

评注

1只要令参数的系数为0,这样参数就不起作用了,求出的必是定点.

[例2]已知二次函数则函数图象过定点

答案(1,-1),(-1,-3)

解析令得或

[例3]已知二次函数试确定两点,使的图象永远不过这两点.

解析

令得定点,

只要在图形上任取两点,都能满足要求.

[评注1由于函数的定义是对任意的对应的值是唯一的,故只要在过定点的垂直线上任意取点即可.

(三)最小距离问题

[例1]已知二次函数定点求函数图象上动点到定点的最小距离.

解析设,点则.

解得.

有两个极小值,点,

由图象可知最小值必为,但代入后运算烦恼,故要用整体代换.

由得,故

[评注1本题运用整体代换法求最小值,是值得借鉴的好方法.另外,若定点在曲线顶点的切线上,或定点在曲线的对称轴上时,最小距离运算会更简单.

(四)对称轴正交曲线

[例11已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（）

A.(0,1]

B.(0,1]

C.

D.

答案

解析当时单调递减,且

单调递增，且,此时有且仅有一个交点;

当时在上单调递增,所以要有且仅有一个交,点,需即故选

[评注1已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路有:

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通讨解不等式确定参数范围;

（2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;

（3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

第三章指对函数，多姿多彩

一、指数型函数

大小比较

例1.若是以2为周期的偶函数,当时则,由小到大的排列是

[答案

所以有

故有

[解析$]$因为是以2为周期的蜀函数,且在[0,1]上单调递增，所以有

故有

[例2]设x,y,z为正数,且则

A.

B.

C.

D.

答案D

故则,

则故选D.

(二)范围确定

例1.已知函数设若则的取值范围是

答案

[解析依题意,在坐标平面内画出函数的大致图象,结合图象(图略)可知,

三、分段复合

例1设函数则满足的的取值范围是

A.B.[0,1]

C.D.

答案C