2025高考数学二轮复习-函数与不等式111-120-专项训练【含答案】.docxVIP

二、分类分参，对比感受

对导数相关的含参恒成立问题可用通法“分类讨论”，也可用“参数分离”.一般题目都可用分类讨论的方法求参数范围，但运算量较大;而参数分离则往往可以避免烦琐讨论.利用图象直接求得答案.

【例1】已知函数，若对任意.存在，使得

.求的取值范围.

【解析】解法1:分类讨论法

题目条件等价于在这个区间内.的值城包含的值城.因为在上单调递增(导数为，在上恒大于零)，所以.并且.故，又因为，则:

(1)当时，为增函数，，，则，

又，所以此时的取值范围是;

(2)当时，为减函数，

，，，所以此时无解;

(3)当时，则函数在端点和在时取得极值，以下略.

【评注】该方法很复杂，思路为:分别解出在端点处和处的值.比较它们的大小，可以确定的一个取值范围.然后根据比较的过程，确定值域，然后再和的最大值和最小值比较，又可以得到一个范围，取交集，最后取(1)~(3)中的取值范围的并集.

解法2:参数分离法

，对任意，存在，使得，所以，即，即，得，所以

【评注】这里用参数分离法，思路清晰，运算简捷.

【例2】已知函数，其中是自然常数，，是否存在实数，使的最小值是3?若存在，求出的值;若不存在，说出理由.

【解析】由，得，，

令，，在上单调递增，在上单调递减，，即

【例3】已知函数(且).

(1)求函数的单调区间;

(2)若函数的图象在点处的切线的斜率为1，则在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值?

(3)当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围.

【解析】(1)由知，

当时，函数的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，+∞);

当时，函数的单调递增区间是(1，+∞)，单调递减区间是(0，1).

(2)由得，则，.

，，

因为函数在区间上总存在极值，

所以有两个不等实根且至少有一个在区间内.

又因为函数是开口向上的二次函数，且，

所以

由得，设，则在[1，2]上单调递减，

所以，所以，

由，解得；

综上得一当.

(3)解法1:分类讨论法

因为，所以.令，

则.

①当时，由得，，从而，

所以在上不存在使得；

②当时，，因为，所以，

，在上恒成立，故在上单调递增.

所以，

故只要，解得，

综上所述，的取值范围是，

解法2:参数分离法

在上有解?在上有解，

即，.

由于在上恒成立，在上恒成立，所以，故单调

而，可对的分子再求导，

令，，

由于在上恒成立，在上恒成立。

所以，单调递减，而，故

若还发现不了，可再对求导，，

因为，所以，单调递减，

因为，所以，单调递减，.

因为，所以，单调递减，故.

综上所述，的取值范围是，

【例4】已知函数，

(1)是否存在实数，使得在上为增函数，在上为减函数？若存在，求出的值；若不存在，请评注理由；

(2)如果当时，有恒成立，试求的取值范围.

【解析】(1)因为，所以

若存在，使在上递增，在上递减，则

所以，这时，

当时，，单调递增.

当时，，单调递减.

(2)解法1:分类讨论法

，

分子的判别式，

若，即，则对任意恒成立，

这时在上递减，，

若，则当时，，，

不可能恒小于等于0.

若，则，不合题意.

若，则，，故存在，使，

时，，这时单调递增，，不合题意.

综上，

解法2:分离参数法

由题意得，令

由于最大值一定为正，又分母要尽可能小，故最大值应该在内取到.

令，

所以单调递减，因为所以，

所以，单调递减，

所以所以

【例5】已知函数(为常数，)

(1)若，是函数的一个极值点，求的值;

(2)求证:当时，在上是增函数，

(3)若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

【解析】

(1)由已知，得且，所以，因为，所以，

(2)当时，因为，所以，

当时，，又，所以，

故在上是增函数..

(3)解法1:分类讨论法

时，由(2)知，在上的最大值为，

于是问题等价于:对任意的，不等式恒成立.

记

则，

当时，，

所以在区间上递减，此时，，

由于，所以时不可能使恒成立，故必有，

所以，

若，可知在区间上递减，

在此区间上，有与恒成立矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，则，即，

所以实数的取值范围为，

解法2:分离参数法

，

令，

令，

所以单调递减，又，所以，

所以，单调递减，(取不到)，故，

【例6】设函数，(是实数，是自然对数的底数).

(1)当时，求与函数的图象在点处相切的切线方程;

(2)若在其定义域内为单调递增的数，求的取值范围:

(3)若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围.

【解析】(1)，

当时，点在函数图象上，即.

则在该点处的切线方程为，即，

(2)

要使为单调增函数，需在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立，

又，所以当时，在(0，+∞)上为单调