2025高考数学二轮复习-函数与不等式181-190-专项训练【含答案】.docxVIP

十六、引入参数，化零为整

在某些复杂的问题中，仅凭观察难以得出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，可解出待定系数，使代数式合理整齐，从而开辟解题捷径.

【例1】已知,且求的最小值.

【解析】设则有

当且仅当同时成立时上述不等式取等号,即

,

代入解得此时故的最小值为36。

（【评注】用柯西不等式法更快.）

【例2】设是不全为0的实数，求的最大值.

【解析】引进待定常数则有

于是有

将上面三式相加，并整理得

令解得

于是有

有

故当且时取得).

【例3】已知，求的最大值。

【解析】

令得.

。故的最大值为。

【例4】设且记，则的最小值为

A.1B.C.2D.

【答案】B

【解析】解法1：设

设

令

则得则,

当即即时,取得最小值故选.

解法2:同解法1，

令由得则

解法3:设记,

则

（利用三角函数的有界性)

【例5】已知实数满足则的最大值为

【答案】45

【解析】因为，

所以相加得即,

当且仅当时取等号，

即或时取得最大值45.

【评注】本题是三元均值不等式问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。这里是用待定系数法来确定系数.

事实上,设

解得.

十七、单调值域，端点代入

对于单调函数求值域的相关问题，只要把区间端点代入即可.

【例1】求函数的值域.

【解析】故由于单调递增，单调递减，所以单调递增，因为定义域为故值域为

【评注】本题也可用换元法，令，化为二次函数，对于，由于函数不单调，只能用换元法.运用换元法时,要特别注意新元的范围.

【例2】求函数的值域.

【解析】由于单调递增,单调递增,所以单调递增，因为定义域为故值域为

【例3】求函数的值域.

【解析】令则在[1,2]上单调递减.因为定义域为[1,2],所以值域为

【例4】求函数的值域。

【解析】由于单调递增，单调递增,所以单调递增，因为定义域为所以值域为

【例5】求函数的值域.

【解析】由于单调递增，单调递增,所以单调递增，

因为定义城为所以值域为

【例6】求函数的值域.

【解析】由于单调递增，单调递增,所以单调性不确定，对进行分子有理化，得单调递减。

因为定义域为所以值域为

【例7】求函数的值域.

【解析】令，则在【-1,1】上单调递增，因为定义域为【-1,1】，所以值域为。

【例8】求函数的值城.

【解析】令，则在上单调递增，在上单调递增，所以值域为。

【例9】若对任意的不等式恒成立,则的最大值为，

的最小值为。

【答案】

【解析】当时恒成立，此时，

当时，

，

令，则在上单调递增，所以，所以，则，m的最大值为n的最小值为。

十八、确立主元，化繁为简

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题就很难解决，如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，就可以创造性地使用均值不等式，从而解决问题.

【例1】在中,求证.

证明:当时，原不等式显然成立.

当时

当且仅当即为正三角形时,原不等式等号成立.

综上所述，原不等式成立.

【评注】变形后选择为主元，先把看作常量，∠C看作变量，把，这两个变量集中到中，然后利用的最大值为1将其整体消元,最后再回到这个主元，变中求定.

【例2】对任意的,已知恒成立,求的最大值.

【解析】,

可写作其中,

设令,

则

则,

当时，

当时,故所求最大值为2.

【评注】变形后选择为主元，再反解系数，反代，获得成功.

十九、有界夹逼,创造等式

例1.已知实数x,y满足则xy的最小值为

答案

解析

则有即

得故xy的最小值为.

变式训练

设的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若则的面积为

例2已知函数的图象过点求常数a,b,c,使不等式对一切实数都成立,并求函数的最小值.

解析的图象过,点则,

对一切实数都成立，

则有即

所以即的最小值为0.

例3若x,y满足则

答案

又,

所以,

即

所以

二十、无序最值,分类讨论

例1设函数若存在唯一的整数x，使得求的取值范围.

解析先理解题中条件“存在唯一的整数x,使得

这个条件等价于“除了一个非零整数外,对其他整数均有

即对于除一个非零整数外的其他整数,均有或

容易作出的图象,又的图象恒过点由时

对至多一个不成立知,

再结合的图象知，唯一的解只可能是一2或1,

从而得到的取值范围是

例2已知不等式对一切都成立,则