2025高考数学二轮复习-函数与不等式221-230-专项训练【含答案】.docxVIP

(例31设函数若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点则下列判断正确的是

A.当时

B.当时

C.当时

D.当时

答案B

解法2:今则,设,则，

令得要使的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，只需，整理得于是可取来研究.

当时得此时;

当时解得此时0故选.

解法3：令可得.

设不妨设结合图形可知，

当时即此时即;

同理可得当时故选.

例4.已知a是实数，函数如果函数在区间上有零点求的取值范围.

[解析解法1:若显然在[-1,1]上没有零点,所以

令解得.

当时,恰有一个零,点在[-1,1]上;

当即时,在[-1,1]上也恰有一个零点;

当y=f(x)在[-1,1]上有两个零点时,则有

解或得或.

(4)当时在上有一个零,点.

综上,所求实数的取值范围是或.

解法2:用参数分离法更简便.

由得,

则

由得,

所以或.

变式训练

已知是实数,函数讨论函数在区间[-1,1]上零点的情况.

[例5设集合当实数p,q取遍[-1,1]的所有值时,所有集合的并集为

答案

[解析设方程的两根为当p,q取遍[-1,1]的所有值时，

所求集合为

例6.设函数的两个零点为,且在区间上恰有两个正整数,求的取值范围.

(解析令则,

令则，

则即

例7试求当为何值时,方程有两个不等实根?

解析作函数，

的图象,使两个图象恰有两个不同的交,点,

当时，无解

当时,有一解;

当时，有两解.

故

例8若函数的一个零点在0和1之间,另一个零点在1和2之间,试求

的取值范围.

[解析由的图象如图1,有即

把看成动点与定点之间连线的斜率，可得.

[例9已知函数.

若求方程的解集;

若试判断函数在上的零点个数,并求此时所有零点之和的取值范围.

[解析(1)解法1:当时

由得或

解得即解集为.

解法2:当时,由得,

得或所以或或即解集为

(2)

当时,令因为,

所以,

得

先判断与的大小

即

即故当时存在两个零点.

当时,令即,

得

同上可判断故时存在一个零点.

综上可知当时存在三个不同的零点,

设易知在上单调递增，

故且.

例10已知函数.

(1)当时,求在上的最大值和最小值;

若方程有3个不相等的实根求的取值范围.

解析(1)当时,

当时,

当时，

故

(2)

(1)若因为方程有3个不相等的实根,

故当时,方程有2个不相等的实根，

当时，方程有1个实根,

故解得,

不妨设则,

则

所以的取值范围是;

(2)若当时,方程的判别式小于0,$不符合题意;若显然不合题意.故的取值范围是.

[例11]已知函数其中为实数,且

(1)当时,根据定义证明在上单调递增

求集合函数有三个不同的零点

[解析

(1)当时.

任取设

则

由所设得又，

所以即.

所以在上单调递增.

(2)解法1:函数有三个不同零点,即方程有三个不同的实根.

方程化为或

记

(i)当时的图象开口均向上.

由知在上有唯一零,点.

为满足有三个零,点,在上应有两个不同零点.

由

(ii)当时的图象开口均向下.

由知在上有唯一零点.为满足有三个零点,

在上应有两个不同零,点.

综合(iii)可得.

(七)含不等式型零点

[例1]若则函数的两个零点分别位于区间

A.和内B.和内

C.和内D.和内

[答案IA

[解析易知又则又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零点分别在和内,故选

[例2]已知是定义在上的奇函数,当时当时且若直线与函数的图象恰有5个不同的交点,则实数

[答案

[解析1因为与都是上的奇函数,且原点为两函数图象的一个公共点,要使两图象恰有5个不同的公共点,则时,两图象应当恰有2个不同的公共点.

当时当时则当

时其图象是无数段抛物线段.

则当时，直线与曲线相交,且与曲线相切.

由得则得.

显然故此时,切点横坐标为与