2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何121-130-专项训练【含答案】.docxVIP

【评注】本问题的背景实质也是以点为圆心的圆与椭圆恰有一个公共点时，圆心位置的范围是.

【例24】如图5，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点向轴作垂线段.

(1)求线段的中点的轨迹方程；

(2)若点分之比为，求点的轨迹方程.

【解析】(1)当M是线段的中点时，设动点M的坐标为，则点P的坐标为.

因为点在圆心为坐标原点，半径为2的圆上，

所以有即

所以，点的轨迹是椭圆，方程是.

(2)如图6，当点分之比为时，设动点的坐标为则的坐标为

因为点在圆心为坐标原点，半径为2的圆上，

所以有即.

所以点的轨迹是椭圆，方程是

【变式训练】

已知轴上的一定点为椭圆上的动点，求AQ中点的轨迹方程.

【例25】已知定圆动圆和已知圆内切且过点求圆心的轨迹及其方程.

【解析】已知圆圆心所以，点在定圆内.

如图7，两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，用数学符号表示此结论:.

上式可以变形为

又因为所以圆心的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆.

又PQ中点为原点，所以故动圆圆心的轨迹方程是

【变式训练】

长度为2的线段AB的两个端点A，B分别在轴、轴上滑动，点分AB的比为求点的轨迹方程.

十、两类对称点之存在

【例26】试确定的取值范围，使得椭圆上有不同的两点A，B关于直线对称.

【解析】设中点.

则可得

即，即，即，.

因为所以即所以

由于中，点必在椭圆内，故有，

解得

【拓展提升】

已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称.

(1)求实数的取值范围；

(2)求面积的最大值为坐标原点).

【解析】(1)由题意知，可设直线AB的方程为.

由消去y，得

因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以.①

将AB中点代入直线方程解得，②

由①②得或.

(2)令，则且到直线AB的距离为.

设的面积为所以当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.

十一、正交中心角系列

【例27】已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，是否存在以AB为直径的圆恰过原点？请说明理由.

【解析】由得设直线，

联立方程得整理得.

由于

即整理得

从而得矛盾.

所以，不存在以AB为直径的圆恰过原点.

【变式训练】

已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，且以AB为直径的圆恰过原点，求弦AB

的长和直线AB的方程.

【例28】已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，若存在以AB为直径的圆恰过原点，求的取值范围，离心率的取值范围.

【解析】设直线，

联立方程得，

整理得

由于

故

即

可得，

故得解得.

【规律探索】（1）在椭圆中，若离心率，则称此椭圆为黄金椭圆；若离心率的平方，则称此椭圆为准黄金椭圆.

准黄金椭圆中的证明如下:

两边平方化简得即.

(2)黄金椭圆面积与焦点圆(以焦距为直径的圆)面积相等.

【变式训练】

1.已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，若存在以AB为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围.

2.已知直线与椭圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰过原点，求的取值范围.

【拓展提升】

1.已知椭圆上任意两点P，Q，若则的最小值为.

【答案】

【解析】设，

由点P，Q在椭圆上，得①

②

由①+②得

于是当时，达到最小值.

2.椭圆与直线交于P，Q两点，且其中为坐标原点.

(1)求的值；

(2)若椭圆的离心率e满足求椭圆长轴的取值范围.

【解析】设由得

因为代入上式得①

又将代入得

因为所以.

代入①化简得.

(2)因为所以即.

又由(1)知所以得，

所以长轴

【规律探索】定理：直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在圆锥曲线上，则中心在斜边上的射影轨迹是圆.

【例29】若的直角顶点为椭圆的中心，OA，OB交椭圆于A，B

两点，求证:点在斜边上的射影的轨迹是圆.

【解析】解法1设

则点.

如图1，由于点A，B在椭圆上，则有

由此可得，

在中，设，

所以.

可见是一个定值，所以中心在斜边上的射影，点的轨迹是圆.

解法2化齐次型.

联立方程，即，得，

整理得

令，得

即.

因为所以，

所以.

设中心到直线AB的距离为d，则

十二、斜率积定值之奇妙

【例30】设椭圆的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，原点为O，MO的斜率为，求证：.

【解析】解法1设AB的方程为，①

又已知，②

由①②消去y，得.

此一元二次方程的两根是A，B的横坐标，即，

所以AB中点满足，

所以，即.

解法2设则，③

，④

③-④，得

化为⑤

把代入⑤，得.

【评注】对于椭圆为椭圆上的两点，为AB中点，直线AB与OM的斜率之积为定值，即此性质在解有关选择、填空题时，快速准确，应予重视.

【变式训练】

1.过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，设直线的斜

率为直线OP的斜率为则的值为（）

A.2B.-2C.