2025高考数学二轮复习-拉档提分数列21-30-专项训练【含答案】.docxVIP

三.等差与等比之类比规则

等比数列与等差数列是数列中两类最基本、最重要的数列,弄清它们的性质及相互关系很有必要.由于两类数列在定义上只是一字之差,从数列结构上看，一个是“差”运算,一个是“商”运算.这是一种“运算”上的升级﹐由此我们可以猜想它们的其他性质也有这种对应关系.不妨用类比思想,逐个“平移”、类比、猜想、推导.

下面用对称的形式列出它们的对应性质.

等差数列

类比关系

等比数列

定义

从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数

数学表达式为：

(1)(定义式)

(2)(递推式)

差?商

和?积

定义

从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数

数学表达式为：

(1)(定义式)

(2)(递推式)

通项

(1)(基本式)

(2)(一般式)

积?幂

通项

(1)(基本式)

(2)(一般式)

通项推导思想

利用定义式(1)(递推累加)

累加得

利用递推式(2)(迭代法)

加?乘

累加?累乘

通项推导思想

利用定义式(1)(递推累乘)

累加得

利用递推式(2)(迭代法)

公差公式

差?商

商?开方

公比公式

(当n?k为偶数时q有正负两个值)

项数公式

差?商

商?开方

项数公式

等差中项

和?积

等差中项

等距和性质

(1)

(2)

(公差≠0)

和?积

等距和性质

(1)

(2)

(公差≠±1)

前n项和

思想方法：再写一行，倒序作和

和?积

前n项积

思想方法：再写一行，倒序作积

前n项和

前n项和

通过上述类比,我们不难看到“等差”与“等比有多么和谐的统一性及内在结构上的相似性.我们学习任何知识均要站在系统的高度﹐注意比较知识间的联系和区别,学会联想、善于类比,这样不仅有利于抓住问题本质,而且可以找到规律,简化记忆,易于掌握.下面我们用类比思想解决问题,例如:

在等差数列{an}中,若,则有等式(n19,n∈N)成立.类比上述性质有:在等比数列{an}中,若,则有等式(n17,n∈N)成立.由于“等差”与“等比”只是一字之差,因而所有的性质都可以通过类比得到,在学习时可以相互转换﹐遇到等比数列可以联想等差数列,遇到等差数列可以联想等比数列,这样既可多渠道找到解决问题的方法﹐又学得快记得牢.

四、数列中的类比集锦

【例1】在等差数列中,若则有等式

)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列中,若则有等式成立.

【答案】

【解析】本题考查等差数列与等比数列的类比，一种比较本质的认识是：

等差数列一用减法定义一性质用乘法表述(若且则

等比数列一用除法定义一性质用乘法表述(若且则

由此,猜测本题的答案为.

事实上,对等差数列如果则

所以有

从而对等比数列如果则有等式成立.

【评注】本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力和抽象概括能力,考查运用类比的思想方法由等差数列得到关于等比数列的新的一般性结论.

【例2】对于等差数列,有一个真命题如下：“若是等差数列,且是互不相等的正整数,则”类比此命题,对于等比数列有一个真命题如下：“若是等比数列,且是互不相等的正整数,则

【答案】

【解析】设等比数列的公比为由类比规则得

【例3】定义“等和数列”如下:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫“等和数列”这个常数叫该数列的公和.已知数列是“等和数列”,且公和为5,那么这个数列的前项和

【答案】

【解析】由等和数列”的定义，易知故

当为偶数时当为奇数时.

【评注】本题以“等和数列”为载体,解决问题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及数学活动的经验.本题还考查分类讨论的数学思想方法.

【例4】已知命题：“若数列为等差数列，且，则.”现已知数列为等比数列,且,若类比上述命题,则可得到.

【答案】

【解析】设的公差为d,则,

则.

类比此推导方法易知,设的公比为,

由知，

则，，

故应填.

【评注】本题从形式上难以类比出结论,但从已知结论的推导方法上不难类比得到等比数列的推导方法，从而推导出结论.所以本题更加注重研究方法和思路上的类比.

【例5】已知等差数列有一个性质:若数列为等差数列,数列满足则数列也是等差数列,类比上述命题,相应地,等比数列也有性质:若数列是等比数列则当数列满足时,数列也是等比数列.

【答案】

【例6】观察下列等式:

由以上等式推测得到一个一般的结论:

对于.

【答案】

【例7】从归纳出第个式子为.

【答案】.

【例8】)已知经计算得，

推测当时,有.

【答案】

【例9】已知数列的通项公式记

试通过计算的值,推测出.

【答案】

【解析】

【例10】观察下列等式根据上述规律,第五个等式为.

【答案】

【解析】解法1