2025高考数学二轮复习-拉档提分数列31-40-专项训练【含答案】.docxVIP

2005=334×6+1，所以黑蚂蚁走完2005段后停止在正方体的顶点处，白蚂蚁走完2005段后停止在正方体的顶点处.故这时两只蚂蚁间的距离是.

【评注】这类题为操作性探索题，要求同学们大胆动手，探索出规律性来.

【例4】已知数列满足满足若，则的值为 （）

A. B. C. D.

【答案】A

逐步计算，可得，

，

，

，

，

…

这说明数列是周期数列，.而，所以.应选A.

【评注】分段数列问题是一种新题型，又涉及周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色.

3.知识关联型

【例5】如图，设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围为.

【答案】

【解析】如图，由椭圆第二定义知，即，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离，即，最大值为右焦点到左顶点的距离即，

若公差，则，，得；

若公差，同理可求得.

综上，.

【评注】本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深刻，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心.解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项求出公差的取值范围.

4.类比联想型

【例6】若数列是等差数列，则数列也是等差数列.类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则数列

也是等比数列.

【答案】

由已知“等差数列前项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前项的几何平均值是等比数列”，不难得到也是等比数列.

【评注】本题只需由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想，不难挖掘问题的突破口.

5.规律发现型

【例7】将自然数1，2，3，4，…排成数表（如图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，….则第2005个转弯处的数为.

21-22-23-24-25-26

∣

207-8-9-1027

∣∣∣∣

1961-211…

∣∣∣∣

185-4-312

∣∣

17-16-15-14-13

【答案】1006010

【解析】观察由1起每一个转弯时递增的数字可发现它们依次为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”，故在第2005个转弯处的数为：l+2×（l+2+3+…+1002）+1003=1006010.

【评注】本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现，解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力，因此本题在高考中具有较强的选拔功能.

6.图表信息型

【例8】下表给出一个“等差数阵”：

4

7

…

…

…

…

…

7

12

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.

（1）写出的值；

（2）写出的计算公式；

（3）求证：“正整数在该等差数列阵中”的充要条件是“2+1可以分解成两个不是1的正整数之积”.

【解析】（1）=49.

（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：，

……

第行是首项为4+3（-1），公差为2+l的等差数列，

因此.

（3）必要性：若在该等差数阵中，则存在正整数，使得，从而，即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积；

充分性：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数，，使得，从而，可见在该等差数阵中.

综上所述，“正整数在该等差数阵中”的充要条件是“2+l可以分解成两个不是1的正整数之积”.

【评注】本题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.求解关键是根据图表信息求出行列中对应项的通项公式.

7.几何计数型

【例9】如图，第个图形是由+2边形“扩展”而来的.记第个图形的顶点数为，则=.

【答案】4030056

【解析】由图易知，，，，从而易知.

【评注】求解几何计数问题通常釆用“归纳-猜想-证明”的解题思路.本题也可直接求解.

第个图形由+2边形“扩展”而来，这个图形共由（+2）+l个+2边形组成，而每个+2边形共有+2个顶点，故第个图形的顶点数为，.

8.“杨辉三角”型

【例10】如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第行共有个数，且该行的第1一个数和最后一个数都是，中间任意一个数都等于第-1行与之相邻的两个数的和，设分别表示第行的第一个数，第二个数，…，第个数，求且.

【解析】由图易知从而知是一阶等差数列，即

以上1个式子相加即可得到

，则，

即（且）.

【评注】“杨辉三角”型数列创新题是近年来高考创新题的热点问题.求解这类题目的关键是