2025高考数学二轮复习-拉档提分数列191-200-专项训练【含答案】.docxVIP

事实上，当时，即，

又，所以当时，

故满足的所有的值为3，4，5

【例11】已知有穷数列an共有2k项(整数首项设该数列的前项和为且其中常数

(1)求证:数列是等比数列;

(2)若数列满足求数列的通项公式；

(3)若(2)中的数列满足不等式求的值.

【解析】(1)止得，

代入得整理得，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

(2)若止(1)得，

所以数列的通项公式是.

（3）由(2)知是单调递增数列，当时即

当时即.

原式左边

由得，

又于是的值为1，2，3，4，5，6，7.

【例12】已知在数列中且.

(1)求数列的通项公式;

(2)令数列的前项和为试比较与的大小，并证明.

【解析】(1)由知，

由累加法得当时，，

代入得时，，

故.

(2)解法1：时，则，

记函数，

所以

则

所以.

由于此时;

此时

此时

由于故时，此时.

综上所述，当时当时.

解法2：数学归纳法

由猜想：.

当时，成立；假设当时成立，即，

，即时成立，故成立.

综上所述，当时，；当时，

【评注】证明无上界.

无上界.

【例13】.设数列的前项和为已知且，

，其中，为常数，

(1)求与的值；

(2)求证：数列为等差数列；

(3)求证：不等式对任何正整数，都成立.

(1)由得

把分别代入得

解得

(2)由(1)知，

即①

又②

②-①得

即③

又④

④-③得，

所以，

又，

因此数列是首项为1，公差为5的等差数列.

(3)由(2)知，.考虑

即

因此

【例14】已知正项数列满足数列满足，

且.

(1)求数列的通项公式

(2)求证：.

【解析】(1)由得，

所以从而

(2)由得，

由得

得即，

所以

【例15】已知各项均为正数的数列的前项和满足且.

(1)求的通项公式；

(2)数列满足，并记为的前项和，求证：.

【解析】(1)由解得或由题设因此

又由

得或

因为故不成立，舍去，因此，

从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为

(2)证法1：由可解得

从而

因此

令

则.

因为故.

特别地从而

即

证法2：证法1求得及.

由二项式定理知当时，不等式成立.

由此不等式有

证法3：同证法1求得及.

令.

因为所以，

人而

【例16】已知数列的各项均为正数，且满足.

(1)求数列的通项公式;

(2)若恒成立，求的取值范围.

(1)由题设知当时，；当时，，

所以故数列的通项公式为

(2)由(1)知，

记

则当时，，

故有

当时，要使得恒成立，即恒成立，

由于，考察函数的单调性，

因为显然当时，，

所以当时，函数单调递增，又因为时，，

所以当时恒成立，

故的取值范围是

【例17】设为等差数列的前项和，其中且.

(1)求常数的值，并写出的通项公式；

(2)记数列的前项和为若对任意的都有成立，求的取值范围

【解析】(1)由及得.

因为是等差数列，所以即，所以

(2)由(1)知所以，所以，

因为所以是关于的递增数列.

又因为对任意的都有成立，所以即，

所以，解得，

又因为所以.

【例18】已知在数列中记，

当时，求证：

(1)

(2);

(3)

【解析】(1)因为由题意知是方程的正根，所以

又

可知对任何都成立.

(2)由，得

因为所以由及得，

所以

(3)由得，

所以，

于是

故当时，，

又因为，所以

【例19】已知等差数列的前项和为且

(1)求数列的通项公式;

(2)设是否存在使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的，的值；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)设等差数列的公差为，则

由已知，得解得所以.

(2)假设存在使得成等比数列，则.

因为所以，

所以整理得.

因为所以解得因为，

所以，此时故存在，使得成等比数列.

【例20】已知数列满足数列满足，

，数列的前项和为

(1)求证：数列为等比数列;

(2)求证：数列为递增数列;

(3)若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围.

【解析】(1)因为所以是等差数列.

又所以

因为

所以

又因为

所以是以为首项为公比的等比数列.

(2)因为，所以.

当时，

又，所以所以是单调递增数列.

(3)因为当且仅当时，取得最小值，

所以即所以.

【例21】设为等差数列的前项和，其中且.

(1)求常数的值，并写出的通项公式；

(2)记数列的前项和为，若对任意的都有，求常数的最小值.

【解析】(1)解法1：由及得

因为是等差数列，所以即所以

解法2:设公差为，由得，

即

所以有解得，

所以

(2)由(1)知所以，

①

②

①-②得

所以

要使成立，即成立.

记则

因为所以

又所以当时，恒有

故存在对任意的都有成立.

【例22】设数列已知.

(1)求数列的通项公式;

(2)求证:对任意为定值;

(3)设为数列的前项和，若对任意都有?求实数的取值范围.

【解析】(1)，

又所以是以2为首项为公比的等比