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2021年中考数学复习题

23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并

延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AB＝12，求线段EC的长．

【解答】证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，

∴∠OCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝90°，

∵∠AOC+∠OCE＝180°，

∴∴AD∥EC

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（2）如图，过A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝60°，

∴∠D＝∠ACB＝60°，

∴sin∠ADB==√3，

2

12×2

=83，

∴AD=√

√3

∴OA＝OC＝43，

√

∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

∴四边形OAFC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴CF＝AF＝43，

√

∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，

∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

=3，

∵tan∠EAF=√

∴EF=3AF＝12，

√

∴CE＝CF+EF＝12+43．

√

24．（10分）如图，抛物线y＝x+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交2

分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；

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（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、

E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得{12=9+3+，

−3=4−2+

解得{=2，

=−3

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，

故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），

故OA＝OC＝3，

∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，

设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，

故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），

故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；

当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐

标同上，

综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．

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