2025高考数学二轮复习-拉档提分数列221-230-专项训练【含答案】.docxVIP

由

代人式得同理可得

由此可推出

（2）=1\*GB3①当时，由式知猜想成立.

=2\*GB3②假设时，成立.故，

即

所以舍

由

得.

则

得

即时，命题也成立.

由=1\*GB3①=2\*GB3②知，

对一切成立.

（3）由(2)得数列前项和.

故

2.【解析】（1）由，，可得，，

.

（2）推测，证明如下：

=1\*GB3①当时.左边右边，结论成立。

=2\*GB3②时，有，

则当时，

故当时,结论成立.

由=1\*GB3①=2\*GB3②知，.

3.【解析】

（2）猜测

当时，显然成立.假设时成立，

则时，由,

及，

得，

故

故当时，结论成立.

由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，对都有

例4【变式训练】

1.【答案】证明略

2.【解析】由递推公式算出前几项：

，

猜想，

再用数学归纳法证明，过程略.

例5【变式训练】

1.【答案】

证明略

2.【答案】证明略

例6【变式训练】

【解析】（1）将已知等式展开整理得

，

解得，

由知.

故

（2）由

猜想.

（ⅰ）当时命题成立；

（ⅱ）假设当，命题成立，即.

那么,

即时命题成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可知对一切自然数命题都成立.

例7【变式训练】

【解析】（1）当时.

(2)

由此猜想.

证法1:因为，

且

，

所以.

证法2:用数学归纳法证明.

（i）当时，公式成立：

（ii）假设时公式成立,即，

则时，

公式仍成立.

由可知，对任意均成立.

例7【拓展提升】

【解析】（1）由已知得可知

故.

（2）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，可用数学归纳法证明对任意，是3的倍数.

当时，则中的所有元素都是3的倍数；

当时，因为或所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得都是3的倍数.

从而对任意是3的倍数,因此中的所有元素都是3的倍数.

(3)首先中的元素都不超过36，由易得36,类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数,由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，考察中的数除以9的余数，由定义可知和除以9的余

数一样.

=1\*GB3①若中有3的倍数，由(2)知,所有的都是3的倍数,所以除以9的余数为或或而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则

中的数从第三项起最多有2项,加上前面两项,最多4项；

=2\*GB3②若中没有3的倍数，而都不是3的倍数，对于，除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个，从起除以9的余数是项不断循环(可能从2,4,8,7或5开始而除以9的余数是1,2,4,8,5且是4的倍数(不大于36)的，只有28,20,4,8,16,32，所以中的项加上前两项最多8项，则时,,项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.

【评注】考点：（1）分段函数型数列通项公式求值；（2）数学归纳法证明；（3）数列元素分析

三、数列恒等问题的数学归纳

例4【变式训练】

1.【解析】（i）当时等式成立：

（ii）假设时等式成立，则当时，左边=

，即当时等式成立，综上可知待证等式成立.

2.【提示】当时，

左边=

3.2.【提示】当时，

左边=

【评注】变式训练2,3只给出了关键证明.

例6【拓展提升】

【解析】（i）当时，左边

右边

等式成立.

(ii)假设当时等式成立，即

当时,左边

即时等式成立.

由可知对，等式成立.

四、数列不等问题的数学归纳

例3【变式训练】

1.【解析】（i）当时，

左边右边左边右边，（ii）假设时，命题成立，命题成立，

即

当时,有：

由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均

成立.

【评注】用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，应注意在归纳假设的基础上，进行合理放缩.

2.【解析】（i）当时,左边

不等式成立.

（ii)假设当时，不等式成立，

即，

则当时，左边

3.【解析】（i）当时,左边右边，显然，左边右边，原不等式成立；

（ii)假设当时不等式成立，

即,

那么当时，

又

所以

即时，不等式也成立.

由（i）（ii）可知，不等式对任意均成立.

【评注】采用“取差法”证明不等关系成立，降低了解题难度.

例5【变式训练】

【解析】（i）当时，显然成立