2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计21-30-专项训练【含答案】.docxVIP

由乘法原理知

故不同的分组方法有60种.

【例52】将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数.

（1） 平均分成三堆；

（2） 分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本；

（3） 平均分给甲、乙、丙三人；

（4） 甲得1本，乙得2本，丙得3本；

（5） —人得1本,一人得2本,一人得3本.

【解析】（1）将6本书平均分成三堆，不需要考虑顺序.

故有

答：共有15种不同的分法.

（2） 由于三堆书的本数各不相同，所以直接分组后，不会出现相同的分法.

故有

答：共有60种不同的分法.

（3） 先将书平均分成三堆，再分给甲、乙、丙三人，

故有

答：共有90种不同的分法.

（4） 实际上和（2）的问题是等价的.

故有

答：共有60种不同的分法.

（5） 由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以

故有

答：共有360种不同的分法.

【评注】（1）和（2）是分组问题；（3）、（4）、（5）是分配问题；

（1） 是平均分组问题，是无序的，要将直接分组后的结果除以组数的全排列数；

（2） 是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可；

（3） 是平均分配问题，将（1）中的平均分组数再乘以组数的全排列数；

（4） 是确定了方案的非平均分配问题，（2）中的非平均分组数即是本小题的非平均分配数；

（5） 是无确定方案的非平均分配问题，将（2）中的非平均分组数乘以组数的全排列数，即为非平均分配数.

八、异元进盒，先堆后排

对于将不同的元素放入几个不同的盒子内的问题，当有的盒子内有不少于2个元素时，不可分批放入（同一盒子内的球必须一次性放入），必须先分堆再放入.对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列（简称：排组混合、先选后排）.

【例53】4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子内，则恰有1个空盒子的放法有种.

【答案】144.

【解析】因为恰有1个空盒子，故必有1个盒子内有2个小球（同一盒子内的球是组合），而不同的球放入不同的盒子是排列，因此，这是一个排列与组合的混合问题.

可先从4个球中选出2个球，有种.把这2个球视为1个球与其余2个球一共3个球分别排入4个盒子内，有种.

由乘法原理知.

故恰有1个空盒子的放法有144种.

【评注】同一盒子内的球必须一次性排入.

【例54】将这4个球放入编号为的3个盒子中，每个盒子中至少放1个球，且这2个球不能放在同一个盒子中，则不同的放法有（）.

A.15种 B.18种 C.30种 D.36种

【答案】.

【解析】因为是4个球放入3个盒子，故必有1个盒子内有2个小球.

可先从4个球中选出2个球绑在一起，有种，并把这两个球视为1个球与其余2个球共3个球，分别排入3个盒子内，有种，然后减去同盒的情况，即种.

共有

【例55】5个老师分配到3个班里搞活动，每班至少1人,不同的分法有种.

【答案】150.

【解析】先把5位老师分成3组，有两类：

①3个班的老师数分别为1,1,3时，有种；

②3个班的老师数分别为1,2,2时，有种.

再将分组后的老师安排到3个班里，有种.

由加法、乘法原理知

故不同的分法有150种.

【评注】不同的老师不可分批进入同一个班，须一次性到位（类似同一盒内的元素必须一次性进入），否则会产生重复计数.

【例56】5个老师分配到3个班里搞活动，不同的分法有种.

【答案】243.

【解析】分五步，每步分1个老师到3个班里均有3种，故5个老师分到3个班里，共有35=243（种）.

【例57】有3个班级（每个班级的人数多于5人），从这3个班级里选5个人组成科技小组，每班至少有1人，不同的分法有种.

【答案】6.

【解析】将5个人视为5个相同的小球，5个小球排成一排，用2块挡板去插入，得3部分，即3个不同的班级，有种.

【变式训练9】

从3个班级（每个班级的人数多于5人）里选5个人组成科技小组，不同的选法有种.

从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有种.

【例58】某旅馆剩余三人间、两人间、单人间三种房间各一间，有三个成人带两个小孩子来此住宿小孩子不宜单住一间（必须有成人陪同），则不同的住宿方法有（ ）.

A.35种 B.27种 C.21种 D.18种

【答案】.

【解析】成人用“大表示，小孩子用“小表示，按每个房间所住的客人情况可分为四类:

（小大），（小大），（大），此种情况有种；

（小小大），（大），（大），此种情况有种；

（小大大），（小大），（空），此种情况有种；

（小小大），（大大），（