2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计51-60-专项训练【含答案】.docxVIP

【例13】求的展开式中的常数项.

【解析】的展开式的通项为，

其中当且仅当，即或或时，得展开式中的常数项为

【变式训练】

已知的展开式中没有常数项，且则。

（五）三项展开系数

【例14】在的展开式中，的系数为

A.160B.240C.360D.800

【答案】

【解析】解法1由已知得。

的展开式的通项

的展开式的通项

故

令得或.

因此的展开式中的系数为故选.

解法2由已知得其展开式的通项

只有当时中的指数才可能为1，所以的展开式中含的项只能在中，

因此的展开式中的系数为故选.

解法3其展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的,那么它的一次项,只需从五个因式中的一个取一次项，另四个因式各取常数项相乘得到,即共有种取法，则即为展开式中的一次项.故选B.

【评注】

1.对进行变形，即都是为了将三项式的展开转化为二项式的展开。转化或化归是重要的数学思想方法.

2.解法3没有使用二项展开式，而是运用建立二项式定理的思想,避免了使用公式的繁琐。运用这种思想，我们还可以得到三项式的展开式的通项公式(其中，且。

【变式训练8】

求的展开式中的系数.

【例15】求的展开式中的常数项.

【解析】解法因为，

所以

由题意，得所以即此展开式中常数项是第4项，从而

解法2

设此二项展开式的常数项为则。

依题意得即

所以常数项

【例16】已知的展开式中有一项是

（1）求的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中系数最大的项。

【解析】(1)易得的展开式的通项

由题意可得

解得

故的值是11。

（2）由二项式系数的性质可知，展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项其值分别为：

，

。

的展开式的第项的系数其中

当时。

因此，当时即;

当时即。

所以，

所以最大.

故的展开式的第7项的系数最大，且。

【评注】1.二项展开式中某项的二项式系数与该项的系数是有区别的，比如展开式中第7项的二项式系数为而第7项的系数为

2.求二项展开式中二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的性质完成：当是偶数时第项的二项式系数最大；当是奇数时，第项与第项的二项式系数与相等，且同时取得最大值。

3.求是已知实数)的二项展开式中系数最大的项，实质上是求由系数构成的数列的最大项，可通过比较系数法来求。当时，有如下结论：

设

(1)若是整数，则；

(2)若不是整数,则其中是指不超过的最大整数。

【变式训练9】

1.求的展开式里系数最大的项。

2.二项式的展开式中系数最大的项是

A.第项B.第项C.第项D.第项

3.已知的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992，求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项。

【例17】求的展开式中系数最大的项。

【解析】利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值。设第项系数最大，则有

又所以

所以系数最大的项为

【变式训练10】

求的展开式中系数最大的项。

【例18】设，若展开式中关于的一次项系数的和为11，试问为何值时，含项的系数取得最小值?

【解析】和的一次项的系数分别为和所以有,

解得①

又的展开式中含的项为的展开式中含的项为，

所以含项的系数为.

将代入，得.

当或时项的系数最小，最小值为25。

此时或

【变式训练11】

在的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求展开式的中间项。

【例19】已知若其展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大项的系数是多少?

【解析】因为所以，

解出或.

当时，展开式中二项式系数最大的项是和，

可得的系数，

的系数。

当时，展开式中二项式系数最大的项是，

可得的系数.

【变式训练12】

1.在的展开式中，二项式系数最大的项是多少?

2.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是多少?

3.写出在的展开式中，系数最大的项和系数最小的项.

【例20】若的展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.

【解析】由解出

假设最大项为则，

所以即

化简得到

又，所以展开式中系数最大的项为

则。

【变式训练13】

在的展开式中,系数最大的项是多少?

(七)奇偶系数等和

【例21】若的展开式中偶数项系数和为-256，求的值。

【解析】设的展开式中各项系数依次为

令则有①

令则有②

由①-②得即.

由题意得，

【例22】在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，