2025年最小平方法在回归分析和趋势预测中的应用 .pdfVIP

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

最小平方法在回归分析和趋势预测中的应用

最小平方法，又称最小二乘法。其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我

们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差之和

(xx)0

等于零，用表达式表示即；二、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小

2

(xx)最小值

值，用表达式表示为。这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到

回归分析和趋势预测中来。回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势

方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。

最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与理论值(趋势值)的离差平方和为最小。据此

来拟合回归方程或趋势方程。

1、利用最小平方法拟合直线回归方程

ab

拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数和之值，而用最小平方法求出的

回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。

yabxab

假设直线回归方程为：c，其中是直线的截距，是直线的斜率，称回归

abx

系数。和都是待定参数。将给定的自变量之值代入上述方程中，可求出估计的因变量

y之值。这个估计值不是一个确定的数值，而是y许多可能取值的平均数，所以用yc表示。

xyxy

当取某一个值时，有多个可能值。因此，将给定的值代入方程后得出的c值，只能

看作是一种平均数或期望值。配合直线方程的具体方法如下：

2

Q(yy)最小值

c(1)

yabx

用直线方程c代入式(1)得：

2

Q(yabx)最小值

(2)

ab

分别求Q关于和Q关于的偏导，并令它们等于0：

Q





2(yabx)(1)0



a



Q



2(yabx)(x)0

b



整理后得出由下列两个方程式所组成的标准方程组：