2025年北师大版九年级下册数学考点培优训练考点二十 圆周角和圆心角的关系(第2课时).docxVIP

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二十圆周角和圆心角的关系(第2课时)

【A层基础夯实】

知识点1圆周角定理推论2

1.如图,AB为☉O的直径,点C,D都在☉O上,作CE∥AB交☉O于点E,若∠ADE=25°,则∠ABC的度数为(C)

A.45° B.55° C.65° D.75°

2.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何?”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是(C)

A.674寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸

3.如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD.

(1)求证:△AEC∽△DEB;

【解析】(1)∵∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,∴△AEC∽△DEB;

(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.

【解析】(2)∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°,

∵AB是☉O的直径,AD=3,

∴∠ADB=90°,∴AB=6,

∴☉O的半径为3.

知识点2圆内接四边形

4.在☉O的内接四边形ABCD中,∠B与∠D的数量关系为(B)

A.∠B=∠D B.∠B+∠D=180°

C.∠B∠D D.∠B∠D

5.(2024·驻马店一模)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆弧上两点,若∠CAB=

42°,则∠ADC的度数为(C)

A.138° B.148° C.132° D.122°

6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BE是☉O的直径,连接AE.若∠BCD=2∠BAD,连接OD,则∠DOE的度数是60°.?

7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AC,BD,延长CD至点E.

(1)若AB=AC,求证:∠ADB=∠ADE;

【解析】(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ADE=∠ABC,

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,

∵∠ACB=∠ADB,∴∠ADB=∠ADE;

(2)若BC=3,☉O的半径为2,求sin∠BAC.

【解析】(2)如图,连接CO并延长交☉O于点F,连接BF,

则∠FBC=90°,

在Rt△BCF中,CF=4,BC=3,

∴sinF=BCCF=3

∵∠F=∠BAC,∴sin∠BAC=34

【B层能力进阶】

8.(2024·广元中考)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于(A)

A.64° B.60° C.54° D.52°

9.(2024·西安模拟)如图,AB是☉O的直径,AC=BC,弦CD延长线与AB延长线交于点E,AD,BC交于点F,若CD=DE,则∠AFC的度数为(B)

A.52.5° B.60° C.67.5° D.75°

10.如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC是☉O的直径,∠ACD=30°,连接对角线BD,则∠CBD的度数是60°.?

11.(2024·泰州期末)如图,AB是☉O的直径,E是☉O上异于A,B的一点,连接AE,BE,直径DC⊥AE交AE于点P,且D在ABE上,若AB=25,AE=24,则PC的长为9.?

12.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是?21313

13.(2024·佛山一模)如图,已知OA是☉O的半径,过OA上一点D作弦BE垂直于OA,连接AB,AE.线段BC为☉O的直径,连接AC交BE于点F.

(1)求证:∠ABE=∠C;

【解析】(1)∵OA⊥BE,∴AB=AE,

∴∠ABE=∠C;

(2)若AC平分∠OAE,求AFFC的值

【解析】(2)∵AC平分∠OAE,∴∠OAC=∠EAC,

∵∠EAC=∠EBC,∴∠OAC=∠EBC,

∵OA=OC,∴∠OAC=∠C,

∴∠EBC=∠C,∴BF=CF,

由(1)知∠ABE=∠C,∴∠ABE=∠C=∠EBC,

∵BC为直径,∴∠BAC=90°,

∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°,∴∠ABE=30°,

∴AF=12BF,∴AF=12CF,即AFCF

【C层创新挑战(选做)】

14.(几何直观、模型观念、推理能力)如图,正方形ABCD内接于☉O,点E为AB的中点,连接CE交BD于点F,延长CE交☉O于点G,连接BG.

(1)求证:FB2=FE·FG.

【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=BC,∴AD=BC,∴∠DBA=∠G,

∵∠EFB=∠BFG,∴△EFB∽△BFG,

∴FBFG=EFFB,∴FB2=FE·

(2)若AB=6,求FB和EG的长.

【解析】(2)连接OE,如图,

∵AB=AD=6,∠DAB=90°,

∴BD=A