2025年北师大版九年级下册数学考点培优训练考点二十四 切线长定理.docxVIP

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二十四切线长定理

【A层基础夯实】

知识点1切线长定理

1.(2024·深圳模拟)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA的大小是(D)

A.32° B.48° C.60° D.66°

2.如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,CD交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则

∠PAE+∠PBE的度数为(D)

A.50° B.62° C.66° D.70°

3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=120°,OA=2,则△PAB的周长是63.?

4.如图,已知射线PO与☉O交于A,B两点,PC,PD分别切☉O于点C,D.

(1)请写出两个不同类型的正确结论;

【解析】(1)不同类型的正确结论有:

①PC=PD,②∠CPO=∠DPA,③CD⊥BA,④∠CEP=90°,⑤PC2=PA·PB;(答案不唯一)

(2)若CD=12,tan∠CPO=12,求PO的长

【解析】(2)连接OC,∵PC,PD分别切☉O于点C,D,AP与CD交于点E,

∴PC=PD,∠CPO=∠DPA,∴CD⊥AB,

∵CD=12,∴DE=CE=12CD=6

∵tan∠CPO=12,∴在Rt△EPC中,PE=12,∴由勾股定理得CP=65

∵PC切☉O于点C,∴∠OCP=90°,

在Rt△OPC中,∵tan∠CPO=12,∴OCPC=

∴OC=35,∴OP=OC2

知识点2切线长定理的应用

5.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE的周长为(C)

A.12 B.13 C.14 D.15

6.如图,△ABC是一张三角形的纸片,☉O是它的内切圆,点D是其中的一个切点,已知AD=10cm,小明准备用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为20cm.?

7.(2024·西安模拟)如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1,S2,S3,S4的数量关系为S1+S3=S2+S4.?

【B层能力进阶】

8.如图,直线AB,CD,BC分别与☉O相切于E,G,F,且AB∥CD,若OB=6cm,OC=

8cm,则BE+CG的长等于(D)

A.13cm B.12cm C.11cm D.10cm

9.(2024·绍兴模拟)如图,△ABC中,∠A=60°,BC=6,它的周长为16.若☉O与BC,AC,AB三边分别切于E,F,D点,则DF的长为(A)

A.2 B.3 C.4 D.6

10.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,

∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是2.?

11.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于E点,☉O的半径是r,△PCD的周长为4r,则tan∠APB=?43

12.如图,AB为☉O的直径,PA,PC分别与☉O相切于点A,C,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.

(1)求证:OQ=PQ;

【解析】(1)连接OP.

∵PA,PC分别与☉O相切于点A,C,

∴PA=PC,OA⊥PA,∵OA=OC,OP=OP,

∴△OPA≌△OPC(SSS),

∴∠AOP=∠POC,∵QP⊥PA,∴QP∥BA,

∴∠QPO=∠AOP,

∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.

(2)连接BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.

【解析】(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,

∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,

∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,

∴QD=QC=6,∵QO=QP,

∴OC=DP=r,

∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC,

∴∠OCP=∠PCQ=90°,

在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,

∴(6+r)2=(2r)2+62,r=4或0(舍弃),

∴OP=42+8

∵OB=PD,OB∥PD,

∴四边形OBDP是平行四边形,

∴BD=OP=45.

【C层创新挑战(选做)】

13.(模型观念、推理能力、应用意识)课本再现

(1)在☉O中,∠AOB是AB所对的圆心角,∠C是AB所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=12∠AOB

知识应用

(2)如图4,若☉O的半径为2,P