矩阵的秩及其求法.ppt

关于矩阵的秩及其求法第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日*1.k阶子式定义1设在A中任取k行k列交叉称为A的一个k阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念设，例如矩阵A的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日*设，共有个二阶子式，有个三阶子式。例如而为A的一个三阶子式。显然，矩阵A共有个k阶子式。第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日2.矩阵的秩设，有r阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。子式(如果存在的话)全为0,定义2称r为矩阵A的秩，二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。例1为阶梯形矩阵，求R(B)。解，由于二阶子式不为0，所以R(B)=2.第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日例2求R(A)。*解：存在一个三阶子式不为0，所以R(A)=3.A没有4阶子式，第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日*例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日*如果求a.解或例3设分析：R（A)3,A所有的3阶子式为零，即A的行列式为零。第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日*则例3A有非零的1阶子式，但A所有的2阶子式都为0，所以R（A）=1舍去K=1。得K=-3。分析：R（A)=34,A所有的4阶子式为零，即A的行列式为零。第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日*2、用初等变换法求矩阵的秩定理1矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即则注：只改变子行列式的符号。是A中对应子式的k倍。是行列式运算的性质。第二种求矩阵A的秩方法：1）2）R（B）等于非零行行数，第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日*例4解R(A)=2，求第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日求矩阵的秩。解所以R（A）=2。例5第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日*例6第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日Ex1.求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。解先求A的秩，对A作初等行变换化为行阶梯形：故R（A）=3。第13页，共22页，星期日，2025年，2月5日再求A的一个最高阶非零子式。因R（A）=3，知A的最高阶非零子式为3阶，返回易计算A的前三行构成的子式因此这个子式便是A的一个最高阶子式。第14页，共22页，星期日，2025年，2月5日*三、满秩矩阵称A是满秩阵，（非奇异矩阵）称A是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A为n阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的定理.定理2设A是满秩方阵，则存在一系列初等方阵使得第15页，共22页，星期日，2025年，2月5日*例7A为满秩方阵。此过程相当于第16页，共22页，星期日，2025年，2月5日