2025版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件教学案文含解析北师大版.docVIP

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其次节命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

1．命题

可以推断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p?q且qDeq\o(?,/)p

p是q的必要不充分条件

pDeq\o(?,/)q且q?p

p是q的充要条件

p?q

p是q的既不充分也不必要条件

pDeq\o(?,/)q且qDeq\o(?,/)p

eq\o([常用结论])

1．充分条件、必要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；

(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．

2．充分条件、必要条件与集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件

A?B

p是q的必要条件

B?A

p是q的充分不必要条件

AB

p是q的必要不充分条件

BA

p是q的充要条件

A＝B

[基础自测]

1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－30”是命题． ()

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”． ()

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ()

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． ()

[解析](1)错误．该语句不能推断真假，故该说法是错误的．

(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．

(3)正确．q是p的必要条件说明p?q，所以p是q的充分条件．

(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案](1)×(2)×(3)√(4)√

2．(教材改编)命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是()

A．若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1

B．若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)

D．若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)

C[“若p，则q”的逆否命题是“若﹁q，则﹁p”，明显﹁q：tanα≠1，﹁p：α≠eq\f(π,4)，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)”．]

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A[a＝3时，A＝{1,3}，明显A?B.

但A?B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]

4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B[x＜3Deq\o(?,/)－1＜x＜3，但－1＜x＜3?x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]

5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．]

四种命题的相互关系及真假推断

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

D[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]

2．(2024·开封模拟)下列命题中为真命题的是()

A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题

B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题

B[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对