第4章 专题5 半角模型【2025中考数学第1轮复习考点梳理练 】(含解析).docxVIP

第四章三角形

专题五半角模型

模型一含45°半角模型

模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角．

在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.

解题方法：将△ABD绕点A旋转，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF.

【结论】①△AED≌△AEF；

②△CEF为直角三角形；

③BD2＋CE2＝DE2.

1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.

求证：EF＝BE＋DF.

【方法一】补短法

【思维引导】延长CD至点G，使得DG＝BE，然后证明△AFE≌△AFG.

证明：延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.

∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠BAE＋∠FAD＝45°，

∴∠DAG＋∠FAD＝45°，

即∠GAF＝45°，

∴∠EAF＝∠GAF.

∵AF＝AF，

∴△AFE≌△AFG(SAS)，

∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.

【方法二】旋转法

【思维引导】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AFE≌△AGE.

证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知△ADF≌△ABG，

∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，

AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，

∴∠ABG＋∠ABE＝180°，

即G，B，E三点共线．

∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠BAE＋∠FAD＝45°，

∴∠BAE＋∠GAB＝45°，

即∠EAG＝45°，

∴∠EAG＝∠EAF.

∵AE＝AE，

∴△AFE≌△AGE(SAS)，

∴EF＝EG.

∵EG＝BE＋BG，

∴EF＝BE＋DF.

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的长．

解：将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，连接EF，则CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.

∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，

∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.

∵AE＝AE，

∴△AFE≌△ADE(SAS)，

∴FE＝DE.

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，

∴FE＝eq\r(CF2＋CE2)＝2eq\r(5)，

∴DE＝2eq\r(5).

模型二含60°半角模型

模型特点：如图，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.

解题方法

方法1：延长AC至点G，使CG＝BE，连接DG.

方法2：将△BDE绕点D旋转，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线).

【结论】①△DEF≌△DGF；

②EF＝BE＋CF.

3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在边BC上取点P，连接AP，以AP为边作∠PAQ＝60°，交CD于点Q，连接PQ.求证：△APQ是等边三角形．

证明：连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∴∠BAC＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAD＝60°，

∴△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.

∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，

∴∠PAC＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，

∴∠CAQ＝∠BAP.

在△BAP和△CAQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠CAQ，,BA＝CA，,∠B＝∠ACQ，))

∴△BAP≌△CAQ(ASA)，

∴AP＝AQ，

∴△APQ是等边三角形．

4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC于M，N两点，连接MN.

(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由；

(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．

解：(1)MN＝BM＋NC.

理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°.

∵∠BDC＝120°，

∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.

将△MBD绕点D顺时针旋转120°，得到△ECD.由旋转的性质，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，

∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三点共线．

∵∠MDN＝60°，

∴∠NDC＋∠EDC