2025高考数学二轮复习-函数与不等式331-340-专项训练【含答案】.docxVIP

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四、二次分式,函数最值

例2【变式训练】

1.【答案】

【提示】用分拆法，换元法均可，判别式法不可用，因为它有范围.

2.【答案】

【提示】

用分拆法,换元法均可,判别式法不可用,因为它有范围.

3.【答案】

【提示】用分拆法,换元法,判别式法均可.

4.【答案】

【提示】用分拆法,换元法均可,判别式法不可用,因为它有范围.

5.【答案】

【提示】用分拆法,换元法,判别式法均可.

例4【变式训练】

【答案】

【提示】用分拆法,换元法均可.

令

五、含参分式，二次特型

例2【变式训练】

【答案】

【解析】注意到函数的值域关于2对称，考虑可得.

进而当时，有，于是舍去)或

六、一次分式，指数复合

例1【变式训练】

1.【答案】

2.【答案】

例2【变式训练】

1.【答案】

2.【答案】

3.【答案】

例2【拓展提升】

【答案】

【解析】，即，而积

七、一般曲线，范围探求

例1【变式训练】

【答案】

例2【变式训练】

【答案】

例3【变式训练】

【解析】

令，

八、非规函数，最值探求

例2【变式训练】

【答案】

九、最值背景，几何按掘

例1【变式训练】

【解析】令

则

问题转化为直线上的动点到圆上的动间的距离的最小值，由图知，.

例4【拓展提升】

1.【答案】

【解析】

等价于上的点与上的点连线长度的最小值，也就等价于圆心与上的点连线长度的最小值减1.

所以

当且仅当时.

2.【答案】

【解析】构造函数则与两点分别在两个函数图象上，故所求等价于求点与点之间的距离平方的最小值，令

，则得.

所以是与平行的，的切线，故最小距离为，所以的最小值为4.

例7【变式训练】

1.【答案】（1）；(2)

2.【答案】（1）；(2)

3.【答案】（1）；(2)

例7【拓展提升】

1.【解析】由每一个根号想到余弦定理，如图，

在中，，

同理，在中，,

在中，，

再由三个根号想到“三角形两边之和大于第三边”，即，

于是想到，将图中的三个三角形拼接起来，

由于.

故图中的三个三角形恰好拼接为一个平面三角形，即

（若，则拼接为三棱锥)

证法1：由余弦定理可构造，使，

则

同理得.

由三角形两边之和大于等三边可得,

也就是

证法2；由为正数，知

相加得

【评注】这个新解法只用到简单的放缩常识，节省了解题时间(可以由差异分析法直接找出)；更重要的是，经历了一个“由数到形”、又“由形到数”的数形结合过程，可谓真正的、完

的数形结合.

2.【解析】由上题解法知

所以，即.

十、二元最值，先定主元

例1【变式训练】

设为主元，令

（时达到最值）

（时达到最值）

故当时达到最值10.

例1【拓展提升】

【答案】

【解析】问题等价于当且仅当时取到最小值1，两边平方，即在时取到最小值1，

令可得

【评注】考点：（1）平面向量的模长；（2）函数的最值；

十一、多重换元，化归求之

例3【拓展提升】

【解析】解法1：显然由得

对于恒成立.

令，则得对一切恒成立.

当时，不等式不恒成立，故

当时，取得最小值

当且，即时，不等式恒成立，且当时等号成立.

故

解法2：显然，故.

令，则

令，则.

只要求的最大值.

于是，.

故，即时，不等式恒成立(当时等号成立).

注：若令，则，

当时有驻点，且当时，，

当时，，即在时取得最大值2，

此时有

解法3：由柯西不等式得，

即对一切正实数恒成立.

当时，取，有.

而，即不等式不恒成立.

而当时，由于对一切正实数都有，故不等式恒成立.

故

十二、最值之最，合并再求

例1【变式训练】

【答案】D

【解析】设.则

上述四式相加得：

当时等号成立.

例5【拓展提升】

【解析】（1）设任意且，

则

所以对任意时，，故在(0,2)上是减函数.

（2）对任意的实数，存在，使得成立

对任意的实数，存在，使得成立

设

（1）当时，在[1,2]上是增函数,则

得；

（2）当，且，即时，在[1,2]上是增函数，则

无解；

（3）当，且，即时，在[1,2]上是减函数,则

（4）当，且，即时，在上是减函数，在上是增函数，则

无解

综上，所求实数的范周是或.

例6【变式训练】

【解析】因为均为正实数，故，

当，即时，，即，

所以；

当时，，

综上，的最大值是.

例10【拓展提升】

【答案】

【解析】记，且表示点到直线的距离.

情形一：当或时，有,

情形二：当时，设函数图象上在点处的切线与直线平行，则，如图.

此时有

从而有

进而得

当时，有,

当时，有

当时，有，且当时可以取得等

综上所述，所求的最小值为.

例11【变式训练】

【解析】（1）当时，在区间上是增函数

所以，

所以

（2）①当时，因为,

所以

所以

②当时，有

则

，

所以

③当时，有,

则

所以

，所以

综上可知，对任意的都有，故的最大值

十三、多元最值,合理转换