2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何61-70-专项训练【含答案】.docxVIP

由得.

于是故.

于是，所以.

【评注】用常规方法解本题难度特别大，这里巧妙地用阿波罗尼斯圆的性质，轻松破解.

【变式训练】

1.在中，已知内角边.求面积的最大值.

2.在直角坐标平面上，已知点为线段AD上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为.

3.已知点A，B，C在圆上运动，且若点的坐标为则的最大值为

A.6 B.7 C.8 D.9

【拓展提升】

在中，已知内角A，B，C满足且边求面积的最大值.

【解析】因为，

所以，

即，

故从而.

所以点在阿波罗尼斯圆上，当BC边上的高为圆半径时，三角形面积最大，即

六、点与圆的位置判定

【例9】若点在圆外，则实数的取值范围为.

【答案】

【解析】由解得.

【变式训练】

已知圆点在直线上，若圆上存在两点A，B，使得则点的横坐标的取值范围为

A. B. C.[-1，0] D.[-2，0]

七、直线与圆位置关系

【例10】已知圆直线若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围.

【解析】如图1，图2，设圆O到直线l的距离为d，则.

已知

所以.

【评注】运动直线，用极端原理，考虑特殊位置，计算边界值.

【规律探索】

（1）研究直线与圆的位置关系一律用圆心到直线的距离公式；

（2）已知圆圆心到直线的距离为.

①若圆上恰有一个点到直线的距离为h，则；

②若圆上恰有两个点到直线的距离为h，则；

③若圆上恰有三个点到直线的距离为h，则；

④若圆上恰有四个点到直线的距离为h，则此类题型有多种形式，应重视.

【变式训练】已知圆直线若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围.

八、圆的光线反射问题

【例11】一束光线从点出发经轴反射后与圆相切于点，则光线的最短路程是.

【答案】

【解析】点关于轴的对称点为

由反射定理知，光线的最短路程是切线长则.

【评注】光线反射问题，一般先求已知点关于反射面的对称点.

【规律探索】切线长公式及意义:

过圆外一点所引圆的切线的

（T为切点)

过圆外一点所引圆的切线为.

【变式训练】

一束光线从点出发经轴反射到圆上的最短路程是.

【拓展提升】

一束光线从点出发经轴反射后与圆相切，求入射和反射光线所在直线的方程.

【解析】入射和反射光线所在直线的方程分别为或

九、动点分圆比例问题

【例12】直线分圆周长的比为，则圆心到直线的最大距离为.

【答案】1

【解析】提示:用极端原理，考虑两种情形.

【变式训练】

1.把直线按向量平移后，恰与相切，则实数的值为

A.或 B.或C.或 D.或

2.直线与直线的交点在

A.直线上 B.圆上 C.粗圆上 D.双曲线上

3.过点的直线与圆交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线的方程是.

【例13】与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有条.

【答案】四

【解析】在两坐标轴上截距相等的直线有两类：

①直线过原点时，有两条与已知圆相切；

②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.

易知①，②中的四条切线互不相同.

十、点与圆距离的最值

【例14】已知满足条件.

(1)若点的轨迹形成图形的面积为1，则，

(2)的最大值为.

【答案】(1)2；(2)

(1)略

(2)如图1所示，易知

【评注】含参问题需进行分类讨论.

【变式训练】

已知动点满足为坐标原点，若线段PO的最大值的取值范围为则实数的取值范围是.

【拓展提升】

已知圆圆分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为

A. B. C.

【答案】A

【解析】圆关于轴的对称圆为，

则.

所以的最小值为

【评注】求圆上两个动点的最值问题，一般都先转化为其中一个动点到圆心的最值问题.

十一、圆上动点系列最值

【例15】点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围：(1).

【解析】（1）转化为点到点的距离问题，如图1.因为，

，所以.

（2)设直线如图2.圆心到直线的距离为解得.

当过点时，有，结合图象可知.

(3)令将点代入得.

又由得.

圆心(1，2)到直线的距离为1，即即化简并整理得

解得.

由图3可知，取故.

(4)如图4，令化简得即

由得.

令即，

由得，

化简并整理得解得.

由图4可知故

【变式训练】

若则上述四个问题将怎样?（读者自己尝试)

【拓展提升】

已知点是曲线上的动点.

若求的取值范围；

若求的取值范围；

(3)若A(-3，0)，B(1，0)，求的取值范围.

【解析】*（1）由三角形中线长定理得

又.

设为AB中，点(如图5)

(3)若则

【评注】本题也可以用极化恒等式求解.

十二、圆的三角形轨迹

【例16】如图1，已知