2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何91-100-专项训练【含答案】.docxVIP

又即，

所以，

即．

（十一）圆的等幂线之神奇

【例42】圆动点Q，P分别到圆的切线长与到原点的距离相等，且集合不等式是以PQ为直径的圆面内的点且原点集合，则集合所构成的面积为__________．

【答案】

【解析】设如图6．

由等幂线定理得．

可知在等幂线上．

原点到等幂线的距离为：．

以PQ为直径的圆的半径为1，由于原点集合，

故中间矩形的面积为．

从而集合所构成的面积为两个半圆加中间一个矩形，即．

【例43】已知圆：和：，动点Q，P到两圆的切线长分别相等，且点在圆上，点在圆上，求四边形PAQB面积的最小值和最大值．

【解析】联立方程可得

动点Q，P的轨迹就是直线．

由图7计算，即得四边形PAQB面积的最小值为S四边形PAQB=2，

最大值为S四边形PAQB=8．

（十二）圆的多重对称问题

【例44】过圆上一点作圆的一条动弦AB，P为弦AB中点．

（1）求点P轨迹方程；

（2）设点P关于点的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点按逆时针方向旋转后，所得线段为求|EF|的取值范围．

【解析】（1）连接PC，由垂径定理知所以，点的轨迹是以线段AC为直径的圆（除去点A）

因为A(4，6)，C(6，4)，则其中点坐标为

又圆的半径，

故，点的轨迹方程是．

(2)如图8，因为点P，E关于点对称，设点则点．

设点因为线段OF由OP绕原点按逆时针旋转得到，

则且即且．

由得

令则所以．

因此，点的坐标为．

所以．

设点则．

因为点为圆上的点，设圆心的坐标为(5，5)，

则

故|EF|的取值范围是

（十三）刚体运动轨迹问题

【例45】已知是圆内的一点，A，B是圆上两动点，且满足求矩形APBQ的顶点的轨迹方程，并求|OQ|的值．

【解析】如图9，设AB的中点为R，坐标为则在中．

又因为是弦AB的中点，依垂径定理:在中．

又

所以即

因此，点在一个圆上，而当在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．

设因为是PQ的中点，所以．

代入方程，得，

整理得这就是所求的顶点的轨迹方程．．

【变式训练】

已知点点是圆上动点．

1．如图10，若ABCD是正方形，求点的轨迹方程，并求|OD|的取值范围．

2．如图11，若ABCD是正方形，求点的轨迹方程．

3．如图12，若是正三角形，求点的轨迹方程．

（十四）距离平方和的最值

【例46】已知中是内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．

【解析】建立如图13所示的平面直角坐标系，则A，B，O三点的坐标分别为A(4，0)

．

设内切圆半径为r，则，

故内切圆的方程是化简为(1)

又因为(2)

由(1)可知

将其代入（2）有

因为故的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为

所以，所求面积之和的最大值为最小值为．

（十五）与线性规划的结合

【例47】已知实数x，y满足且，求的取值范围．

【解析】由已知等式得：，即．

令则．

在平面直角坐标系内，圆弧与平行直线系有公共点，分

两类讨论：

(1)当即时，结合判别式法与代点法得;

(2)当即时，同理得到．

综上，当时的最大值为，最小值为;

当时的最大值为最小值为．

（十六）与抛物线结合问题

【例48】如图14，过抛物线焦点的直线交拋物线于A，B两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线PA，PB分别交准线两点，问:以CD为直径的动圆是否过定点?

【解析】设直线：，由题设知，焦点，故点的坐标为．

令，由得．

设分别由P，A，C和B，P，D三点共线得

即即即

即故

从而

以CD为直径的圆的方程为，

即，即．

令解得或所以动圆过两个定，点(0，1)和(0，-3)．

【变式训练】

过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交对称轴于点Q，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点P，直线PA，PB分别交准线于C，D两点，求证:点C，D的纵坐标的积为定值．

（十七）内接三角形之三心

【例49】已知圆点内接于圆，且求垂心的轨迹方程．

【解析】解法1

如图15，由于是的垂心，所以A，E，H，F四点共圆．

故为定值，所以重心的轨迹为．

解法2如图16，取为的重心，由欧拉线知．

重心，故，

已知令则

故即

所以重心的轨迹为

【例50】已知圆内接于圆，直线过圆心，BC在轴的下方，轴，且点为动点，求内心的轨迹方程．

【解析】如图17，由于为内心，所以A，D，I，E四点共圆．

．

易求得所以，所以的轨迹为．

【例51】已知圆内接于圆，直线过圆心，BC在直线的下方，且点为动点，求重心的轨迹方程．

【解析】如图18，由题设知，BC的中点为定点，点在圆上运动．

由于重心在中线MA的三等分点上，故重心的轨迹是圆．

设则．

故可得

所以重心的轨迹方程为．

【例52】如图19，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，

且，