2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何221-230-专项训练【含答案】.docxVIP

所以

所以所以

所以所以

【例11】已知椭圆为附圆的左焦点,过点的直线交椭圆于两点，直线交轴于点,点在直线上的射影分别是点设直线与的交点为,是否存在实常数使得恒成立?

【解析】如图,设与轴交于,点.

将代入中，得.

所以

当为中,点时,

所以成立,所以为中,点.

同理,连接交轴于点,可得,所以点与点重合.

因为为交,点,所以三,点重合，所以存在实常数使恒成立.

【例12】已知椭圆为粗圆的左焦点,过点的直线交構圆于两点分别为椭圆的左，右顶点，动点满足试探究点的轨迹方程.

【解析】如图,设由题设得焦点

因为直线过焦点被因为则三点共线.

同理,三点共线.

故有由得

将代入,得.

因为交粗圆于点则即.整理得,

则设.

故

由上式，得

所以即轨迹方程为

点的轨迹为直线.

【例13】已知双曲线为双曲线的左焦点,过点的直线交双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点,动点满足动点满足试探究是否为定值.

【解析】如图,由题知设

由“性质十二”可知点,在双曲线准线上,故可设

因为与曲线相交所以

整理得,

已知点在同一条直线上，即

将代入,得

所以因为所以所以所以为定值.

【例14】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于点和直线直线交直线于点,试判断点是否共线,并证明.

【解析】解法1以左焦点为极点，对称轴为极轴，建立极坐标系，则圆锥曲线方程为

如图所示,设,点,

则.

因为,点为直线与的交,点,

所以点满足

将点坐标代入方程,得

化简得

根据极坐标可得

化简得

将代入知,满足直线方程

因此三点共线,证毕.

解法2已知焦点坐标,设两条方程斜率的倒数为用其中一条得出点的相关坐标,再把两条直.线方程代入椭圆方程,全部都用表示,尽量消到只有或化共线为斜率相减等于0,如果中间步骤用韦达定理可得,则证毕.不行则得到的等式,用求根公式代入，得含的等式,最终等于0.

【例15】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭圆于点和直线直线交直线于点,试证明

【解析】以左焦点为极点,对称轴为极轴,建立极坐标系，则圆雉曲线方程为

如图所示,设点,

则

因为点为直线与准线的交点,

所以

将,点坐标代入直线的方程，

得,

化简得所以.

易得平分

【例16】已知椭圆过点的直线分别交粗圆于点和设直线与直线交于点，试证明点的轨迹为直线.

【解析】如图,设直线,直线

因为所以.

解得故

同理可得.

解得故

即

所以直线

直线

联立(1)(2)解得.

所以,点的轨迹为直线.

【例17】已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线分别交椭园于两点，设直线与轴交于点试求的值.

【解析】如图，设直线.

则

同理所以

又因为代入得，

整理得

于是

代入,得即即

因为所以.

【例18】已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：.

（1）椭圆的方程；

（2）设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为.设,求的值.

【解析】

(1)由题意知，直线的方程为

令得,

所以右焦点坐标为所以且.

由可知,点和点关于直线对称.又过原点垂直于的直线方程为

由(1)和(2)得.

因为关于直线的对称点在椭圆的右准线上，所以所以.

所以椭圆的方程为.

(2)如图，设则有

当时，直线的方程为所以有

代入中消,并整理得.

所以所以.

因为所以所以.

同理得所以;

当时,经检验有所以的值为10.

【例19】已知抛物线过点的动直线交拋物线于两点,过分别作切线过点作直线轴,交抛物线于两点父切线于两点试探索是否成立.

【解析】如图,设,

则过点的切线方程.且

由于

则

则

【拓展提升】

已知抛物线过点的动直线交拋物线于两点,过分别作切线点是抛物线上动点,轴,交于点是抛物线在点处的切线,若过点且交于点交抛物线于点试探索是否成立.

【解析】设

由得

从而

因为轴，

所以,

故

由

得

中点

故由

得

故

可理.

.

所以.

中点又与中点重合.

从而有.

【例20】已知椭圆过点的直线分别交椭圆于点和设直线过点且轴,交于点求证