2025高考数学二轮复习-拉档提分数列51-60-专项训练【含答案】.docxVIP

【解析】型．

递推累加，等差数列求和：

．

上述个式子累加得即．

型．

递推累加，等比数列求和：

上述个式子累加得即

(3)型．

同除转化为等差数列令则转化为等差数列．

本小题中，同除转化为等差数列，

由得，

令则，

得即．

型．

直接待定系数

本小题中，

令，

则，

得即即

型．

直接待定系数，

其中

本小题中，由得，

令则，

得即，

故．

【评注】直接待定系数时必须是完整的关于的一次函数．

(6)型．

直接待定系数法，

其中

本小题中，由

得，

同(5)方法可得．

(7)型．

先待定系数配制掉多项式部分再同除转化为等差数列．

，

令则转化为等差数列．

本小题中，由，得，

同除得，

同(3)方法可得，

故

型．

先同除转化为等差数列，再待定系数转化为等比数列．

，

令则，

，

再令则以下步骤略．

本小题中，由得，

，

可得，故

【变式】

本小题中，

，故．

（9）先同除转化为(1)类求解．

由得，

再令得最终得．

型．

先待定系数转化为(8)类求解：，

，

令则，

，

或直接待定系数转化为等比数列：．

本小题中，直接待定系数得，

得，

故．

（11）先待定系数转化为(9)类求解．

由题意得，

令则最终得．

(12)型．

直接待定系数求解：，

本小题中，

最终得．

(13)，

，最终得．

(14)由得，

，最终得

(15)由得，

，最终得．

【拓展提升】

已知定义在实数集上的函数满足则的最大

为________．

三、二阶递归，通项探求

我们把满足的数列称为二阶递归数列，它比一阶递归数列更复杂，下面分类讨论．

【例1】在下列条件下，求数列的通项公式:

(1)若求；

(2)若求

(3)若求

(4)若求；

(5)若求

(6)若求

(7)若求；

(8)若求；

(9)若求

(10)若求．

【解析】(1)由得

得

(2)由题意得

所以

所以

得所以．

(3)由题意得

所以

所以

得．

以下各题给出变换成一阶递归的过程，后续请读者自行完成．

(4)，

则

设

由得

由得

则

所以

得，．

(5)由，得

以下仿前面一阶递归数列求之．

(6)由，得

以下仿前面一阶递归数列求之．

(7)由，

得

令，则

所以

所以

所以

得

(8)由，

得

以下仿前面一阶递归数列求之．

(9)由

得

以下仿前面一阶递门数列求之．

(10)由

得

以下仿前面一阶递归数列求之．

【变式训练】

1．已知数列满足求数列的通项公式．

2．已知数列满足

（1）求证:数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

【拓展训练】

已知是实数方程有两个实根数列满足．

（1）求数列的通项公式(用表示)；

（2）若，求的前项和．

四、一次分式递归，通项探求

我们把满足的数列称为一阶分式递归数列，此类数列是未来高考的重要选题方向，应予以足够重视．接下来我们进行分类讨论剖析．

【例1】在下列条件下，求数列的通项公式．

(1)若求；

(2)若求；

(3)若求；

(4)若求；

(5)若求；

(6)若求；

(7)若求；

(8)若求；

(9)若求

(10)若求；

(11)若求．

【答案】

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

(7)

(8)

(11)

【解析】提示：

(1)由得，所以为等差数列．

(2)由得，

所以是以2为公比的等比数列．

(3)由得，

所以是以2为公比的等比数列．

(4)由得，

所以是以2为公比的等比数列．

．

令得，

由得或

则有得，

进一步得故．

(6)，令得，

由得则，

所以从而．

(7)，

令得，

由得或

则得，

从而．

（8）同(7)，此处略．

（9）令得．

由得或

则得，

从而

，

令得．

下同最终得

（11）解法1:同(9)．

解法2:数学归纳法

由，

知猜想，

以下用数学归纳法证明即可，过程略．

【变式训练】

已知数列中．

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）记，试判断与2的大小，并说明理由．

五、二次整式递归，通项探求

【例1】若数列满足求数列的通项公式．

【解析】由题意得，，

则．

令，

则，

进而得，

即，

所以，

所以．

【例2】已知点在函数的图象上，其中．

（1）求证:数列是等比数列；

（2）设求及数列的通项；

（3）记，求数列的前项和并证明

【解析】

(1)由已知得则，

由知，

两边取对数得即，

所以是公比为2的等比数列．

(2)由(1)知，故．

(3)由得，

则有，

又则．

，

由，

得，

又则故．