2025高考数学二轮复习-拉档提分数列161-170-专项训练【含答案】.docxVIP

【例6】已知在数列中，，，求证.

【解析】(i)当时，显然成立.

(ii)假设当时成立，即也成立，

当时，

易知又，

所以

只需要证明即可.

由上式得，

平方得，

即，显然成立，所以当时，成立.

由(i)(ii)知待证不等式成立.

【评注】还可以证明一个加强命题：，可以直接用数学归纳法证明，请读者行尝试.

【娈式训练】

设是满足不等式的正整数的个数.

(1)求的解析式；

(2)记，，试比较与的大小.

【例7】已知在数列中，，求证：(是非负整数).

【解析】(i)当时，，成立；

(ii)假设当时，，是非负整数，

那么当时，

显然是非负整数，即时命题成立.

由(i)(ii)知命题成立.

【评注】这题是一个数列递推关系问题，和以前我们能够解出的递推关系不一样，是无法求解的.不过看题目并不是要求通项，只是证明通项是一个给出的固定形式，故可采用数学归纳法证明.

【变式训练】

已知为正整数，用数学归纳法证明:当时，.

【例8】已知在数列中，，记为的前项和，求证:

(1)

(2)

(3).

【解析】(1)由题意知，显然则，故只需要证明即可.

用数学归纳法证明：

当时，成立；

(ii)假设当时，成立，

那么当时，，即，

由(i)ii)知，对任意的，.从而即.

(2)用数学归纳法证明.

当时，成立；

(ii)假设当时，，

那么当时，，即当时命题成立.

由(i)(ii)知，对任意的.

(3)，得.

故

第七章数列函数，解几结合

一、数列函数，有机结合

在解数列综合题时经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是难以运用函数知识进行解题.下面通过具体的例子来说明这类题型的求解方法.

1.与反比例函数有机结合

【例1】如图，已知点列在曲线上，点列满足且其中

(1)求与的关系；

(2)求证：.

【解析】解法1：，

由得①

又②

把①代入②，得，

得所以

(2)因为所以，

所以，所以，

.

当时，

因为，

所以

又，所以，所以，

所以.

综上知待证不等式成立.

解法2：，

将绕，点逆时针旋转得，

则，

所以，即.

(2)由得，

所以

…

累加得即，

所以

又所以.

另一方面，由得，

累加可得，即，

从而，

所以

综上知待证不等式成立.

【变式训练】

如图，已知点列在曲线上，点列在轴上，为等腰直角三角形，求.

2.与一次函数有机结合

【例2】设数列的前项和，是常数，且，求证:

(1)数列是等差数列；

(2)以为坐标的点都在同一直线上，并写出此直线的方程.

【解析】(1)要证明数列是等差数列，只要证明其中k，t是常数即数列的通项是关于

的一次函数即可.

由以及

得

所以从而数列的通项是关于的一次函数，所以数列是等差数列.

(2)要证明以为坐标的点都在同一直线上，

只要证明且与点连线的斜率为定值即可.

因为

所以，以为坐标的点都在过点且斜率为的同一直线上，

所以所求的直线方程为，即.

【变式训练】

已知点依次在轴上，且，点依次在射线上，且.

(1)用表示点的坐标；

(2)设四边形的面积为求证:.

3.与二次函数有机结合

【例3】已知，点在的图象上，过点的切线交轴于点，.

(1)求与的关系式

(2)求证:数列单调递减；

(3)求证:；

(4)求证

(5)求.

【解析】(1)，

消得

(2)由(1)知则，

所以所以数列单调递减.

(3)

所以.

(4)，

即，

所以

(5)由(4)知，

从而.

【例4】已知点在曲线上，如图，作出点列.

(1)求数列的通项；

(2)若，求证：

(3)若，求证：.

【解析】(1)

(2)证法1：，则，

左边

故不等式成立.

证法2:由，知，故，

从而

(3)由，知，

所以.

【例5】已知二次函数在处取得最小值

(1)求的解析式；

(2)若任意实数x都满足等式(为多项式，)，试用表示和

(3)设圆的方程为，圆与外切，是各项都为正数的等比数列，记为前个圆的面积之和，求，.

【解析】(1)设，由得，

所以

(2)将代入已知等式得，

上式对任意的都成立，

取和分别代入上式得，且，

解得

(3)由于圆的方程为

又由(2)知，故圆的圆心在直线上，

又圆与圆相切，故有，

设的公比为q，则有

得代入①得，

所以.

【例6】已知是正整数组成的数列，，且.点在函数的图象上.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，求证：.

【解析】(1)由已知得，

所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，即

(2)由(1)知，

，

，

所以.

【例7】已知数列是公差为的等差数列是公比为且)的等比数列，设.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，如果对一切都有成立，求

【解析】(1)由题意知解得

则，.

同理得，解得所以.

(2)由，得，

相减得，又，所以，

即是首项为8，公比为-2的等比数列.

所以