2025高考数学二轮复习-拉档提分数列211-220-专项训练【含答案】.docxVIP

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···

，

累加得

，

所以

例3【拓展提升】

【提示】

4.商式可积，递推累乘

例4【变式训练】

1.【解析】.

故.

2.【解析】

，

故

3.【答案】

例4.【拓展提升】

1.【答案】

【解析】由已知得

用此式减去已知式得当时，，即

又，所以，将以上个式子相乘，得

【评注】把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法)求解.

2.【解析】,

，得.

二、一阶递归，通项探求

例1【拓展提升】

【答案】

【解析】

两边平方得

令，

则，即①

②

②-①得

故，进而得，即，所以

从而

令，即

则

即，.

解得，

即的最大值为.

三、二阶递归，通项探求

例1【变式训练】

【解析】解法1：待定系数——叠加法

由，

得，且.

则数列是以为首项，为公比的等比的等比数列，

把代入，得：

把以上各式相加，得

所以.

解法2：特征根法

数列的特征方程是

不妨设两根为，，

则.

又，于是

得

故.

2.【解析】（1）因为，

所以，所以，

因为，，所以是以为首项，2为公比的等比数列.

（2）由，

得.

例1.【拓展提升】

【解析】（1）解法1：由韦达定理知:，，所以

，

整理得.

令，则

所以是公比为的等比数列，

数列的首项为

所以，

即

所以

①当时，，

变为.

整理得.

所以数列是公差为1的等差数列，其首项为.

所以，于是数列的通项公式为.

②当时，

整理得

所以，数列是公比为的等比数列，其首项为，

所以，于是数列的通项公式为.

解法2：由韦达定理知:，，

所以，，

特征方程的两个根为.

①当时，通项，

由，，得

解得.

故.

②当时，通项，

由，，得

解得，.

故.

（2）若，，则，此时.

由第（1）问的结果得，数列的通项公式为，

所以的前项和为

，

，

以上两式相减，整理得，

所以.

四、一次分式递归，通项探求

例1【变式训练】

【解析】（1）由，得

，则.

又由得，即，

故是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以.

（2）当时，，

，

因为，所以，.

从而，即.

五、二次整式递归，通项探求

例2【拓展提升】

1.【解析】由已知得

累加得.

又，则，即是单调递增数列，

则，故的整数部分为2.

2.【解析】，，

，

（由题意可知取正号），

，.

因此是公差为2的等差数列，即，从而可得

六、二次分式递归，通项探求

例1【变式训练】

【解析】由得，（合分比定理）

令，则，，

，所以.

则，.

所以.

九、三角函数数列

例2【变式训练】

【解析】由于，

故

，，

，

故

，

，

两式相减得

故.

第二章数列求和，十大技巧

一、利用公式求和

例2【变式训练】

【答案】

【解析】.

例7【拓展提升】

【解析】（1）因为，，，

由题意得，解得，所以.

（2）.

当为偶数时，.

当为奇数时，，

所以（或）

二、错位相减求和

例3【变式训练】

1.【答案】

2.【答案】

例4【变式训练】

【解析】由题意得，

所以，

所以.

记.①

②

①+②得，

因为，所以.

所以.

故当时，对任意自然数都有.

三、通项裂项求和

例1【变式训练】

【答案】B.

四、倒序相加求和

例2【变式训练】

1.【解析】设①

将①式右边反序得

②

又因为，，

所以①+②得.

故.

2.【答案】

例2.【拓展提升】

【答案】.

五、奇偶分类求和

例1【变式训练】

1.【答案】

2.【答案】A

例2【变式训练】

【答案】（1），

（2）

例5【变式训练】

【答案】1830.

【解析】当时，，当时，，

则，故，

所以

【评注】本题中，

.

六、分组双重求和

例1.【变式训练】

【解析】设，

由等比数列的性质得若，则，

由对数的运算性质得，

故

.

七、通项分析求和

例1【变式训练】

【答案】

八、分拆重组求和

例1【变式训练】

【答案】

例2【变式训练】

【解析】

九、绝对值项求和

例1【变式训练】

【解析】（1）当时，；

当时，，故.

（2）由可知当时.

当时，.

当时，.

当时.

所以

例1【拓展提升】

【答案】

十、三角数列求和

例1【变式训练】

【答案】C

【解析】易知的最小正周期是14，且有

，，

因此，；

结合周期性可知中为零的个数是，

所以正数的个数是86，故选，

例2【拓展提升】

1.【解析】（1）类比例题我们可以得到

，

所以，

由换元法得：

（2）.

利用错位相减法可得.

2.【答案】

【解析】

因此.

第四章和式放缩，奇彩异放

二、数列和式之裂项放缩

例5【拓展提升】

【解析】

所以.

例9【变式训练】

1.【解析】

2.【解析】

例18【拓展提升】

则，

所以就有

2.【解析】由于，

因此，于是对任意的正整数，有