2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计41-50-专项训练【含答案】.docxVIP

【例107】假定有一排蜂房，形状如图42所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右(包括右上，右下)从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，则从最初位置爬到6号蜂房共有种方法.

【答案】21

【解析】解法1蜜蜂从蜂房的左下角爬到6号蜂房最多爬行7次，路线如：。

如果中途爬一横格，只需爬5次，每增加一横格就减少两步，可得故所求的方法21种.

解法2用图43所示的树状图进行求解，记程略。

【例108】由数字1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为。

【答案】

【解析】由图44所示的树状图可知，满足条件的共有14种，全部取法共有种，

故所求的概率为

二十、容斥问题，补集思想

容斥问题是数学竞赛的热门问题

【例109】将1，2，3，4这四个数字填入表2，要求表中每行每列的数字全不相同，则不同的排列方法有种.

【答案】864

【解析】对于第一行，不同的排法有种.

不妨设第一行依次排1，2，3，4。当第二行第一位排数字2时，

(1)若第二行数字排列为：2，1，4，3，则第三行有4种排列方法；

(2)若第二行数字排列为：2，3，4，1，则第三行有2种排列方法；

(3)若第二行数字排列为：2，4，1，3，则第三行有2种排列方法.

故此种情况有8种排列方法.

同理，当第二行第一位排数字3或4时，各有8种排列方法。

由乘法原理得，故不同的排列方法有576种。

【评注】这类问题是典型的容斥原理。

二十一、传球问题，公式处理

传球问题的核心公式

个人传次球，记，则与最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与第二接近的整数是球最终又传回自己手中的方法数。大家牢记这一条公式，可以解决此类型中至少三人传球的问题。

【例110】四个人进行篮球传接球练习，要求每个人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲的手中，则传球方法有().

A.60种B.65利C.70种D.75种

【答案】A

【解析】解法1五次传球过后，球回到甲的手中，球在中间将经过四个人，将其分成两类：

第一类：传球的过程中不经过甲，甲甲（横线表示其他人，下同），此时传球的方法有种

第二类：传球的讨程中经过甲.

(2)若为甲甲甲，则传球的方法有（种）

根据加法原理，故共有不同的传球方法有60种.故选

解法2注意到次传球，所有可能的传法总数为（每次传球有3种方法），第次传回到甲的手中的可能性就是第次不在甲的手中的可能性。

由表3可知，经过五次传球后，球仍回到甲手中的方法共有60种，故选A.

解法3根据个人传次球的公式，本题是四个人传五次球，故，它最接近的整数是61，第二接近的整数是60，所以传给其他人（非甲本人）的方法有61种，而传回到甲自己手中的方法有60种.故选A.

【评注】这道传球问题是一道非常复杂并且求解麻烦的排列组合问题。

解法1是最直观、最容易理解的，但耗时耗力并且容易错，稍微改变数字，计算量可能陡增；

解法2的操作性强，但对理解能力的要求比较高，也比较耗时；

解法3则不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案），也能给人以启发.

【例111】某人去A，B，C，D，E五个城市旅游，第一天去城市，第七天去城市，如果他今天在某个城市,那么第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市，那么按照这种行程安排,他的旅游方式一共有().

A.204种B.205种C.819种D.820种

【答案】C

【解析】相当于五个人传六次球，根据“传球问题核心公式”，可得与之最接近的是819，第二接近的是820，因此他的旅游方式一共有819种.

二十二、约数个数，质因分解

确定较大自然数的约数的个数比较困难，但利用排列组合思想，会使思路清晰明朗.

【例112】问：1800有多少个约数？所有约数的和是多少？

【解析】对1800进行质因数分解，再由约数的意义及乘法原理可得出结果。因为所以1800的约数的个数为.约数的和为.

【变式训练18】

问：30030能被多少个不同的偶数整除？

二十三、杂题集锦，异彩纷呈

排列组合能快速地解决复杂问题中的计数问题.

【例113】有4名学生报名参加数、理、化这3科竞赛